Kynea-Zahl

ganze Zahl mit besonderer Darstellung
(Weitergeleitet von Kynea-Primzahl)

In der Zahlentheorie ist eine Kynea-Zahl eine ganze Zahl der Form , oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form mit . Sie wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einem Baby, Kynéa R. Griffith, benannt hat.[1][2]

Beispiele

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  • Die ersten Kynea-Zahlen sind die folgenden:
7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, 67125247, 268468223, 1073807359, 4295098367, 17180131327, 68720001023, 274878955519, 1099513724927, 4398050705407, 17592194433023, 70368760954879, 281475010265087, 1125899973951487, … (Folge A093069 in OEIS)
  • Die ersten primen Kynea-Zahlen sind die folgenden
(die   ist in der Liste wegen   nicht enthalten, hätte aber ebenfalls die Form  ):
7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, 1073807359, 17180131327, 68720001023, 4398050705407, 70368760954879, 18014398777917439, 18446744082299486207, 5070602400912922109586440191999, … (Folge A091514 in OEIS)
Man nennt sie Kynea-Primzahlen.
  • Die größte bekannte Kynea-Primzahl ist   und hat   Stellen.[3] Sie wurde von Mark Rodenkirch im Juni 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die 50. Kynea-Primzahl.[4]

Eigenschaften

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  • Jede Kynea-Zahl der Form   hat eine binäre Darstellung, welche   Stellen lang ist, mit einem Einser beginnt, danach   Nullen in der Mitte hat und mit weiteren   Einsern endet. Mit anderen Worten:
 
Beispiel:
 
  • Die Differenz zwischen der  -ten Kynea-Zahl und der  -ten Carol-Zahl   beträgt  .
  • Wenn man mit der Kynea-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Kynea-Zahl ein Vielfaches von  .
Beispiel:
  ist die sechste Carol-Zahl nach   und tatsächlich ist   ein Vielfaches von  .
  • Eine Kynea-Zahl   mit   für   kann keine Primzahl sein.
(folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)
  • Eine Kynea-Zahl   ist die Summe einer  -ten Potenz von 4 und der  -ten Mersenne-Zahl.

Verallgemeinerungen

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Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form   mit   und einer Basis  .

Eigenschaften

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  • Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis   kann nur dann eine Primzahl sein, wenn   eine gerade Zahl ist.
(Wenn   eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz   ungerade. Addiert man   dazu, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man   ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim. Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.)
  • Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit einer ungeraden Basis   ist immer eine gerade Zahl.
  • Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis   ist auch eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis  .
  • Die kleinsten  , sodass   prim ist (Basis  ), sind die folgenden (für  ):
1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, …
Beispiel:
Für   kann man der obigen Liste an der 11. Stelle die Zahl   entnehmen.
Tatsächlich ist   eine Primzahl.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Kynea-Primzahlen mit Basis   entnehmen kann:[5]

  Form Potenzen  , sodass verallgemeinerte Kynea-Zahlen mit Basis  , also der Form   prim sind OEIS-Folge
    1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, 852770, … (Folge A091513 in OEIS)
    1, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, 426385, …
    1, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, … (Folge A100902 in OEIS)
    1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, …
    22, 351, 1061, … (Folge A100904 in OEIS)
    1, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, 78858, …
    1, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, … (Folge A100906 in OEIS)
    2, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, …
    1, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, 82516, …
    1, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, 92990, …
    3, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, 42356, 52147, 82020, … (Folge A100908 in OEIS)
    24, 321, 971, 984, …
    1, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, …
    1, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, 80543, …
    2, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, …
    1, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, 170554, …
    1, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, …
    1, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, …
    6, 279, 3490, …
    2, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, …
    1, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, …
    3, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, …
    1, 54, 2040, 3063, …
    1, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, …
    4, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, …

Die größte bekannte verallgemeinerte Kynea-Primzahl ist   und hat   Stellen.[6] Sie wurde von Serge Batalov am 22. Mai 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die achte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.[4]

Weitere Verallgemeinerungen

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Eine positive ganze Zahl der Form   nennt man Big-Ears-Zahl (Big-Ears number).[7]

Die kleinsten primen Big-Ears-Zahlen, sogenannte Big-Ears-Primzahlen, sind die folgenden:

3, 7, 11, 15, 35, 16475, 26827, 79127, 85075, … (Folge A0100900 in OEIS)

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Cletus Emmanuel auf Prime Pages
  2. Cletus Emmanuel: Message to Yahoo primenumbers group@1@2Vorlage:Toter Link/groups.yahoo.com (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im März 2022. Suche in Webarchiven)
  3. (2661478+1)2-2 auf The Lagest Known Primes!
  4. a b Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search
  5. Prime Wiki: Carol-Kynea table
  6. (30157950+1)2-2 auf The Lagest Known Primes!
  7. Carol- und Kynea-Primzahlen