In der Zahlentheorie ist eine Carol-Zahl eine ganze Zahl der Form oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form mit . Zahlen dieser Form wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einer Freundin, Carol G. Kimon, benannt hat.[1][2]

Beispiele

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  • Die ersten Carol-Zahlen sind die folgenden:
−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 4190207, 16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623, 4398042316799, 17592177655807, 70368727400447, 281474943156223, 1125899839733759, … (Folge A093112 in OEIS)
  • Die ersten primen Carol-Zahlen sind die folgenden:
7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087, … (Folge A091516 in OEIS)
Man nennt sie Carol-Primzahlen.
  • Die siebente Carol-Zahl   ist gleichzeitig die fünfte Carol-Primzahl und ist auch eine Primzahl, wenn man ihre Stellen umdreht (also  ).
Solche Zahlen nennt man Carol-Mirpzahlen.
Man kennt momentan nur zwei Carol-Mirpzahlen:
16127, 16769023
  • Die größte bekannte Carol-Primzahl ist   und hat   Stellen.[3] Sie wurde von Mark Rodenkirch am 16. Juli 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die 44. Carol-Primzahl.[4]

Eigenschaften

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  • Jede Carol-Zahl der Form   mit   hat eine binäre Darstellung, welche   Stellen lang ist, mit   Einsern beginnt, eine einzelne Null in der Mitte hat und mit weiteren   Einsern endet. Mit anderen Worten:
 
Beispiel:
 
  • Die Differenz zwischen der  -ten Mersenne-Zahl (also  ) und der  -ten Carol-Zahl beträgt  .
Somit könnte man die Carol-Zahlen anders definieren, nämlich als  .
  • Die Differenz zwischen der  -ten Kynea-Zahl   und der  -ten Carol-Zahl beträgt  .
  • Wenn man mit der Carol-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Carol-Zahl ein Vielfaches von  .
Beispiel:
  ist die sechste Carol-Zahl nach   und tatsächlich ist   ein Vielfaches von  .
  • Eine Carol-Zahl   mit   für   kann keine Primzahl sein.
(folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)

Verallgemeinerungen

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Eine verallgemeinerte Carol-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form   mit   und einer Basis  .

Eigenschaften

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  • Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis   kann nur dann eine Primzahl sein, wenn   eine gerade Zahl ist.
(Wenn   eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz   ungerade. Zieht man   ab, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man   ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim (für  ). Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.)
  • Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit einer ungeraden Basis   ist immer eine gerade Zahl.
  • Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis   ist auch eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis  .
  • Die kleinsten  , sodass   prim ist (Basis  ), sind die folgenden (für  ):
2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 159, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 12, 1, 1, 2, 9, 1, 88, 2, 1, 1, 12, 4, 1, 1, 183, 1, 1, 320, 24, 4, 3, 2, 1, 3, 1, 5, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 705, 2, 3, 29, 1, 1, 1, 4836, 20, 1, 135, 1, 4, 1, 6, 1, 15, 3912, 1, 2, 8, 3, 24, 1, 14, 4, 1, 2, 321, 11, 1, 174, 1, 6, 1, 42, 310, 1, 2, 27, 2, 1, 29, 3, 103, 20, …
Beispiel:
Für   kann man der obigen Liste an der 6. Stelle die Zahl   entnehmen.
Tatsächlich ist   eine Primzahl.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Carol-Primzahlen mit Basis   entnehmen kann:[5]

  Form Potenzen  , sodass verallgemeinerte Carol-Zahlen mit Basis  , also der Form   prim sind OEIS-Folge
    2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 175749, 185580, 226749, 248949, 253987, 520363, 653490, 688042, 695631, … (Folge A091515 in OEIS)
    1 (führt zur geraden Primzahl  ; mehr Potenzen   existieren nicht)
    1, 2, 3, 5, 6, 9, 66, 162, 179, 393, 3231, 19506, 50112, 92790, 326745, 344021, …
    1, 2, 6, 7, 20, 47, 255, 274, 279, 308, 1162, 2128, 3791, 9028, 9629, 10029, 13202, 38660, 46631, 48257, 117991, … (Folge A100901 in OEIS)
    1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 43, 44, 53, 57, 105, 108, 131, 145, 262, 569, 2154, 4763, 13004, 33408, 58583, 61860, 75583, 82983, 217830, 231877, …
    1, 8, 21, 123, 4299, 6128, 11760, 18884, 40293, … (Folge A0100903 in OEIS)
    3, 29, 51, 7824, 15456, 22614, 28312, 47014, 68835, …
    1, 6, 13, 45, 74, 240, 553, 12348, 13659, 50603, … (Folge A0100905 in OEIS)
    1, 3, 33, 81, 9753, 25056, 46395, …
    2, 8, 30, 98, 110, 185, 912, 2514, 4074, 10208, 15123, 19395, 69354, …
    1, 2, 53, 183, 1281, 1300, 8041, 29936, 72820, …
    1, 8, 35, 88, 503, 8643, 8743, 14475, 92539, … (Folge A0100907 in OEIS)
    2, 27, 92, 4950, 20047, 46309, 55716, …
    159, 879, 4744, 5602, 74387, …
    1, 22, 127, 165, 2520, 6492, 6577, 22960, 25528, …
    1, 6, 19, 30, 166, 495, 769, 826, 1648, 3993, …
    2, 3, 5, 11, 35, 63, 87, 37116, 130698, …
    1, 4, 258, …
    1, 3, 10, 137, 154, 581, 1064, 4514, 6601, 19330, …
    1, 2, 13, 560, 28933, …
    4, 15, 39, 138, 2153, 4084, 5639, …
    3, 6, 14, 15, 29, 78, 195, 255, 272, 713, 2526, 4852, 10573, …
    1, 7, 30, 90, 1288, 1947, 12909, 25786, …
    12, 269, 1304, 5172, …
    1, 2, 4, 6, 12, 13, 3882, 6123, 15067, 15085, …
    1, 3, 4, 9, 31, 66, 115, 430, 1233, 2546, 2674, 6360, 53351, 69033, 69157, …

Die größte bekannte verallgemeinerte Carol-Primzahl ist   und hat   Stellen.[6] Sie wurde von Karsten Bonath am 1. März 2019 gefunden. Es ist die dritte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.[4]

Weitere Verallgemeinerungen

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Eine positive ganze Zahl der Form   nennt man Noddy-Zahl (Noddy number).[7]

Die kleinsten primen Noddy-Zahlen sind die folgenden:[7]

0, 1, 2, 6, 10, 16, 48, 70, 1196, 3958, 57096, 59556, 62440, 70362, … (Folge A0100899 in OEIS)

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Cletus Emmanuel auf Prime Pages
  2. Message to Yahoo primenumbers group von Cletus Emmanuel
  3. (2695631-1)2-2 auf The Lagest Known Primes!
  4. a b Carol and Kynea Prime Search von Mark Rodenkirch, Gary Barnes und Karsten Bonath
  5. Prime Wiki: Carol-Kynea table
  6. (290124116-1)2-2 auf The Lagest Known Primes!
  7. a b Carol- und Kynea-Primzahlen