Wilson-Primzahlen (nach Sir John Wilson) sind Primzahlen , für die gilt, dass durch teilbar ist. Es handelt sich dabei um eine stärkere Form des Satzes von Wilson. Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt.

Definition

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Zur Notation siehe Fakultät, Teilbarkeit und Kongruenz

Der Satz von Wilson besagt, dass   genau dann durch   teilbar ist, wenn   eine Primzahl ist. Für jede Primzahl   gilt also:

 

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

 

oder

 

Das ganzzahlige Ergebnis der Division

 

wird in diesem Zusammenhang auch als Wilson-Quotient   bezeichnet[1] (Folge A007619 in OEIS).

Eine Wilson-Primzahl ist nun jede Primzahl  , die darüber hinaus sogar Teiler „ihres“ Wilson-Quotienten ist (und den Satz von Wilson damit quasi zweimal erfüllt).

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei  

  •   ist  

  hat   eine eindeutige Lösung  

  oder  

 

  •     ist  

Annahme:  

  mit  

Widerspruch:   kann nicht gleichzeitig   und   teilen

Beispiel

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Die Zahl   ist ein Teiler von  :

 

Also ist   wegen des Satzes von Wilson eine Primzahl. Da sie ebenfalls ein Teiler des entsprechenden Wilson-Quotienten ist (36.846.277   13 = 2.834.329), ist sie sogar eine Wilson-Primzahl.

Die wiederholte Teilung entspricht der Division durch das Quadrat der Ausgangszahl. Analog zum Satz von Wilson gilt daher, dass jede Primzahl   genau dann eine Wilson-Primzahl ist, wenn:

 

Beziehungsweise:

 

oder

 

Vorkommen

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Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563[2] bekannt (Folge A007540 in OEIS). Sollten weitere Wilson-Primzahlen existieren, so sind sie größer als  .[3] Es wird vermutet, dass unendlich viele Wilson-Primzahlen existieren, und zwar etwa   zwischen   und  .[4][5]

Verallgemeinerungen

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Wilson-Primzahlen der Ordnung n

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Die Verallgemeinerung des Satzes von Wilson besagt, dass eine natürliche Zahl   genau dann eine Primzahl ist, wenn für alle   gilt:

 

Es ist   also eine Primzahl, wenn   ganzzahlig ist.

Eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n ist eine Primzahl  , für welche gilt:

  ist Teiler von   mit  ,  

Es ist   also eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n, wenn   ganzzahlig ist.

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

 

oder

 

Es wird vermutet, dass es für jede natürliche Zahl   unendlich viele verallgemeinerte Wilson-Primzahlen der Ordnung   gibt.

Beispiel

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Sei   eine Primzahl und  . Die Quadratzahl   ist ein Teiler von  :

 

Also ist   ein Teiler des entsprechenden verallgemeinerten Wilson-Quotienten und ist deswegen eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung  .

Der folgenden Tabelle kann man die verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung   entnehmen für  :

    Primzahl  , sodass   Teiler
von  
ist
OEIS-Link
1   5, 13, 563 … (Folge A007540 in OEIS)
2   2, 3, 11, 107, 4931 … (Folge A079853 in OEIS)
3   7 …
4   10429 …
5   5, 7, 47 …
6   11 …
7   17 …
8  
9   541 …
10   11, 1109 …
11   17, 2713 …
12  
13   13 …
14  
15   349 …
    Primzahl  , sodass   Teiler
von  
ist
OEIS-Link
16   31 …
17   61, 251, 479 … (Folge A152413 in OEIS)
18   13151527 …
19   71 …
20   59, 499 …
21   217369 …
22  
23  
24   47, 3163 …
25  
26   97579 …
27   53 …
28   347 …
29  
30   137, 1109, 5179 …

Die kleinsten verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung   lauten (bei aufsteigendem  ):

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17 … (Folge A128666 in OEIS)

Schon die nächste verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung   ist nicht bekannt, muss aber größer als   sein.

Fast-Wilson-Primzahlen

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Eine Primzahl  , welche die Kongruenz

  mit betragsmäßig kleinem  

erfüllt, nennt man Fast-Wilson-Primzahl (englisch Near-Wilson primes).

Ist  , so erhält man   und erhält die Wilson-Primzahlen.

Der folgenden Tabelle kann man alle solche Fast-Wilson-Primzahlen entnehmen für   mit  :[3]

   
1282279 +20
1306817 −30
1308491 −55
1433813 −32
1638347 −45
1640147 −88
1647931 +14
1666403 +99
1750901 +34
1851953 −50
2031053 −18
2278343 +21
2313083 +15
2695933 −73
3640753 +69
3677071 −32
   
3764437 −99
3958621 +75
5062469 +39
5063803 +40
6331519 +91
6706067 +45
7392257 +40
8315831 +3
8871167 −85
9278443 −75
9615329 +27
9756727 +23
10746881 −7
11465149 −62
11512541 −26
11892977 −7
   
12632117 −27
12893203 −53
14296621 +2
16711069 +95
16738091 +58
17879887 +63
19344553 −93
19365641 +75
20951477 +25
20972977 +58
21561013 −90
23818681 +23
27783521 −51
27812887 +21
29085907 +9
29327513 +13
   
30959321 +24
33187157 +60
33968041 +12
39198017 −7
45920923 −63
51802061 +4
53188379 −54
56151923 −1
57526411 −66
64197799 +13
72818227 −27
87467099 −2
91926437 −32
92191909 +94
93445061 −30
93559087 −3
   
94510219 −69
101710369 −70
111310567 +22
117385529 −43
176779259 +56
212911781 −92
216331463 −36
253512533 +25
282361201 +24
327357841 −62
411237857 −84
479163953 −50
757362197 −28
824846833 +60
866006431 −81
1227886151 −51
   
1527857939 −19
1636804231 +64
1686290297 +18
1767839071 +8
1913042311 −65
1987272877 +5
2100839597 −34
2312420701 −78
2476913683 +94
3542985241 −74
4036677373 −5
4271431471 +83
4296847931 +41
5087988391 +51
5127702389 +50
7973760941 +76
   
9965682053 −18
10242692519 −97
11355061259 −45
11774118061 −1
12896325149 +86
13286279999 +52
20042556601 +27
21950810731 +93
23607097193 +97
24664241321 +46
28737804211 −58
35525054743 +26
41659815553 +55
42647052491 +10
44034466379 +39
60373446719 −48
   
64643245189 −21
66966581777 +91
67133912011 +9
80248324571 +46
80908082573 −20
100660783343 +87
112825721339 +70
231939720421 +41
258818504023 +4
260584487287 −52
265784418461 −78
298114694431 +82

Wilson-Zahlen

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Eine Wilson-Zahl ist eine natürliche Zahl  , für welche gilt:

 , mit  

Dabei ist   genau dann, wenn   eine Primitivwurzel hat, sonst ist  .

Für jede natürliche Zahl   ist   durch   teilbar. Den Quotienten   nennt man verallgemeinerter Wilson-Quotient.[6] Die ersten verallgemeinerte Wilson-Quotienten lauten:

2, 1, 1, 1, 5, 1, 103, 13, 249, 19, 329891, 32, 36846277, 1379, 59793, 126689, 1230752346353, 4727, 336967037143579, 436486, 2252263619, 56815333, 48869596859895986087, 1549256, 1654529071288638505 (Folge A157249 in OEIS)

Ist der verallgemeinerte Wilson-Quotient durch   teilbar, erhält man eine Wilson-Zahl. Diese lauten:

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158 (Folge A157250 in OEIS)

Wenn eine Wilson-Zahl   prim ist, dann ist   eine Wilson-Primzahl. Es gibt 13 Wilson-Zahlen für  .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Eric W. Weisstein: Wilson Quotient. In: MathWorld (englisch).
  2. Karl Goldberg: A table of Wilson quotients and the third Wilson prime. In: Journal of the London Mathematical Society, 28, April 1953, S. 252–256 (englisch)
  3. a b Edgar Costa, Robert Gerbicz, David Harvey: A search for Wilson primes. 27. Oktober 2012, S. 1–25, abgerufen am 1. Februar 2020.
  4. Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes. Mathematics of Computation 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
  5. Chris K. Caldwell: Wilson prime. The Prime Glossary (englisch).
  6. Takashi Agoh, Karl Dilcher, Ladislav Skula: Wilson Quotients for composite moduli. Mathematics of Computation 67 (222), April 1998, S. 843–861, abgerufen am 2. Februar 2020.