In der Zahlentheorie ist eine Primorial-Primzahl (vom englischen Primorial prime) eine Primzahl der Form , wobei die Primfakultät (oder Primorial) von ist (also das Produkt der ersten Primzahlen).

Primzahlen der Form werden auch Kummer-Primzahlen genannt.[1] Primzahlen der Form werden auch Euklidische Primzahlen genannt.[1]

Beispiele

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  • Sei  . Es ist  , somit ist   das Produkt der ersten 7 Primzahlen, also aller Primzahlen bis inklusive  . Man erhält  . Somit ist   keine Primzahl und somit auch keine Primorial-Primzahl.
  • Sei  . Es ist  , somit ist   das Produkt der ersten 5 Primzahlen, also aller Primzahlen bis inklusive  . Man erhält  . Somit ist   eine Primzahl und somit auch eine Primorial-Primzahl.
  • Sei  . Es ist  , somit ist   das „Produkt der ersten Primzahl“, also  . Somit ist   keine Primzahl und somit auch keine Primorial-Primzahl.
  • Sei  . Es ist   das leere Produkt. Somit ist   eine Primzahl und somit auch eine Primorial-Primzahl.
  • Für folgende   erhält man Primorial-Primzahlen der Form  :
2, 3, 5, 6, 13, 24, 66, 68, 167, 287, 310, 352, 564, 590, 620, 849, 1552, 1849, 67132, 85586, … (Folge A057704 in OEIS)
Diese Zahlen kann man auch in der Form   schreiben mit folgenden  :
3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033, 15877, 843301, 1098133, … (Folge A006794 in OEIS)
Beispiel:
An der achten Stelle der obigen beiden Listen steht   bzw.  . Dies bedeutet, dass die 68. Primzahl   ist und   eine Primzahl ist.
  • Für folgende   erhält man Primorial-Primzahlen der Form  :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 11, 75, 171, 172, 384, 457, 616, 643, 1391, 1613, 2122, 2647, 2673, 4413, 13494, 31260, 33237, … (Folge A014545 in OEIS)
Diese Zahlen kann man auch in der Form   schreiben mit folgenden  :
(1), 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439, 392113, … (Folge A005234 in OEIS)
Beispiel:
An der achten Stelle der obigen beiden Listen steht   bzw.  . Dies bedeutet, dass die 75. Primzahl   ist und   eine Primzahl ist.
  • Die folgende Liste gibt die kleinsten Primorial-Primzahlen der Form   an:
2, 3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309, … (Folge A228486 in OEIS)
  • Die größte bekannte Primorial-Primzahl der Form   ist die folgende (Stand: 12. Januar 2022):[2][3]
 
Sie wurde am 20. September 2001 von Daniel Heuer entdeckt und hat 169.966 Stellen.
  • Die größte bekannte Primorial-Primzahl der Form   ist die folgende (Stand: 12. Januar 2022):[3][4][5]
 
Sie wurde am 27. September 2021 von James Winskill aus Neuseeland im Zuge des PrimeGrid-Projektes entdeckt und hat 1.418.398 Stellen.

Ungelöste Probleme

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  • Existieren unendlich viele Primorial-Primzahlen der Form  ?
  • Existieren unendlich viele Primorial-Primzahlen der Form  ?

Zusammenhang mit dem Satz von Euklid

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Der griechische Mathematiker Euklid bewies um 300 v. Chr., dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe Satz von Euklid). Der Beweis ist ein Beweis durch Widerspruch, es wird eine Annahme getätigt, welche sich im Laufe des Beweises als falsch erweist. Die Annahme muss fallengelassen werden und das Gegenteil der Annahme muss stimmen:

Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen  . Man multipliziere alle diese Primzahlen miteinander und erhält die Zahl  . Dann darf die darauffolgende Zahl   keine Primteiler haben, die schon   hatte, denn keine Zahl   kann sowohl eine Zahl   als auch deren Nachfolger   teilen, außer der Zahl  , welche aber keine Primzahl ist (und in der Mathematik auch Einheit genannt wird). Da aber   laut Voraussetzung das Produkt aller existierenden Primzahlen ist und   keinen dieser Primteiler hat, muss   selber eine (neue, bisher noch nicht gekannte) Primzahl sein, was aber im Widerspruch zur Voraussetzung ist, dass   die einzigen existierenden Primzahlen sind. Die Annahme muss fallengelassen werden, es gilt somit das Gegenteil der Annahme, es gibt also unendlich viele Primzahlen.  

Man könnte nun nach dem Studium dieses Beweises fälschlicherweise annehmen, dass man mit dem Verfahren, die ersten Primzahlen zu multiplizieren, immer neue Primzahlen bekommt.[6] Dem ist nicht so. Schon den obigen Beispielen kann man entnehmen, dass man nur für   (Primorial-)Primzahlen der Form   erhält. Für   aber nicht, wie man an folgendem Beispiel erkennen kann:

Sei   und   das Produkt der ersten sechs Primzahlen. Dann ist also  . Addiert man nun   dazu erhält man  . Tatsächlich ist diese Zahl weder durch   noch durch   oder   teilbar. Es gilt aber:   und somit ist   keine Primzahl. In den seltensten Fällen ergibt sich auf diese Art und Weise eine Primzahl, wie man ebenfalls obigen Beispielen entnehmen kann.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. a b Comments zu OEIS A228486
  2. 392113# + 1 auf Prime Pages
  3. a b Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Primorial. Prime Pages, abgerufen am 12. Februar 2020.
  4. 3267113# - 1 auf Prime Pages
  5. 3267113# - 1 auf primegrid.com (PDF)
  6. Michael Hardy, Catherine Woodgold: Prime Simplicity. The Mathematical Intelligencer 31 (4), 18. September 2009, abgerufen am 12. Februar 2020.