In der Mathematik ist die Cartan-Projektion ein Hilfsmittel in der Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren.

Definition

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Es sei   eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra   und   eine Cartan-Unteralgebra. Zu einem Wurzelsystem   sei   die positive Weyl-Kammer und  .

Dann gibt es eine eindeutige maximal kompakte Untergruppe   mit

 

und eine eindeutige Abbildung

 ,

so dass sich jedes   auf eindeutige Weise als   mit (von   abhängenden)   zerlegen lässt.

Die Abbildung   heißt Cartan-Projektion. Es gilt  .

Beispiel

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Es sei

 .

Dann ist die Cartan-Projektion gegeben durch

 ,

wobei   der  -te Eigenwert von   ist.

Jordan-Projektion

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Eine andere stetige Projektion   kann man durch die Jordan-Zerlegung definieren, sie hängt mit der Cartan-Projektion über

 

zusammen.[1] Im Fall   erhält man die Abbildung

 ,

wobei   die Eigenwerte (evtl. mit Wiederholungen) in aufsteigender Reihenfolge sind.

Literatur

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  • Helgason, Sigurdur: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7 (Kapitel 9)
  • Benoist, Yves: Actions propres sur les espaces homogènes réductifs. (Kapitel 3) pdf
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Einzelnachweise

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  1. Benoist: Propriétés asymptotiques des groupes linéaires, GAFA 7 (1997), 1-47