In der Mathematik, speziell in der Theorie der Lie-Algebren, werden Cartan-Unteralgebren unter anderem in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren und in der Theorie der symmetrischen Räume verwendet. Der Rang einer Lie-Algebra (oder der zugehörigen Lie-Gruppe) ist definiert als die Dimension der Cartan-Unteralgebra. Ein Beispiel einer Cartan-Unteralgebra ist die Algebra der Diagonalmatrizen.

Definition

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Es sei   eine Lie-Algebra. Eine Unteralgebra   ist eine Cartan-Unteralgebra, wenn sie nilpotent und selbstnormalisierend ist, das heißt, wenn

  •    für ein   und
  •  

gilt.

Beispiele

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Eine Cartan-Unteralgebra von

 

ist die Algebra der Diagonalmatrizen

 .

Jede Cartan-Unteralgebra   ist zu   konjugiert.

Dagegen hat   zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich

 

und

 .

Existenz und Eindeutigkeit

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Eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem unendlichen Körper besitzt stets eine Cartan-Unteralgebra.

Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem Körper mit Charakteristik   gilt, dass alle Cartan-Unteralgebren dieselbe Dimension haben.

Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind alle Cartan-Unteralgebren zueinander konjugiert, und zwar unter der Gruppe, welche von den Automorphismen   erzeugt wird (für   in der Lie-Algebra und   nilpotent).

Eigenschaften

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Wenn   eine halbeinfache Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, dann ist jede Cartan-Unteralgebra   abelsch und die Einschränkung der adjungierten Darstellung   auf   ist simultan diagonalisierbar mit   als Eigenraum zum Gewicht  . Das heißt, es gibt eine Zerlegung

 

mit

 

und

 .

Im Beispiel

 
 

ist, wenn   die Elementarmatrix mit Eintrag   an der Stelle   und Einträgen   sonst bezeichnet

 

mit   für

 .

Literatur

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  • Élie Cartan: Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Thèse, Paris 1894.
  • Anthony W. Knapp: Lie groups beyond an introduction. (Progress in Mathematics, 140). Second edition. Birkhäuser, Boston, MA 2002, ISBN 0-8176-4259-5.