In der Mathematik ist die Weyl-Kammer (benannt nach Hermann Weyl) ein Begriff aus der Theorie der Lie-Gruppen. Weyl-Kammern werden bei der Definition positiver und einfacher Wurzeln benötigt, außerdem spielen sie eine zentrale Rolle in der Theorie der Gebäude.

Definition

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Sei   eine endlichdimensionale halbeinfache Lie-Algebra,   eine Cartan-Unteralgebra und   das zugehörige Wurzelsystem.

Für eine Wurzel   bezeichne

 

die zugehörige Hyperebene in  .

Dann heißen die Zusammenhangskomponenten von

 

die Weyl-Kammern des Wurzelsystems.

Wirkung der Weyl-Gruppe

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Die Weyl-Gruppe von   wirkt auf   und permutiert die Menge der Weyl-Kammern, d. h., die Wirkung der Weyl-Gruppe auf der Menge der Weyl-Kammern ist einfach transitiv und die Anzahl der Weyl-Kammern ist die Kardinalität der Weyl-Gruppe.

Der Abschluss einer Weyl-Kammer ist ein Fundamentalbereich für die Wirkung der Weyl-Gruppe auf  .

Weyl-Kammern in symmetrischen Räumen

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Es sei   ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ. Dann sind alle   enthaltenden Flachs   von der Form

 

für eine abelsche Unteralgebra  . (Hier ist   die Exponentialabbildung in   und   die Cartan-Zerlegung.)

Insbesondere lässt sich der Begriff der Weyl-Kammern auf Flachs in symmetrischen Räumen übertragen: Weyl-Kammern in   sind (per Definition) die Bilder der Weyl-Kammern in   unter der Exponentialabbildung.

Beispiel

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Wurzelsystem A2

Es sei

 

und

 .

Das zugehörige Wurzelsystem besteht aus den sechs Wurzeln

 
 
 
 
 
 ,

entsprechend

 
 
 
 
 
 .

Die   sind drei Geraden im zweidimensionalen Vektorraum  , sie zerlegen   in sechs Weyl-Kammern.

Die Weyl-Gruppe ist in diesem Fall die symmetrische Gruppe  , sie permutiert die sechs Weyl-Kammern.

Literatur

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  • Armand Borel: Linear algebraic groups. W. A. Benjamin, New York / Amsterdam 1969
  • Alexander Kirillov Jr.: An introduction to Lie groups and Lie algebras. In: Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 113. Cambridge University Press, Cambridge 2008, ISBN 978-0-521-88969-8
  • Ira Gessel, Doron Zeilberger: Random walk in a Weyl chamber. JSTOR:2159560
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