Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet man als Achterknotenkomplement das Komplement des Achterknotens in der 3-dimensionalen Sphäre. Es ist die einfachste hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit und deshalb ein in zahlreichen Lehrbüchern diskutiertes Beispiel.

Achterknoten

Fundamentalgruppe

Bearbeiten

Die zum rechts abgebildeten Knotendiagramm gehörende Wirtinger-Präsentierung der Knotengruppe ist

 ,

wobei   und   Meridiane um zwei der Bögen des Knotendiagramms sind.

Die hyperbolische Struktur auf dem Achterknotenkomplement wird durch die diskrete, treue Darstellung   definiert, welche   auf   und   auf   abbildet.

Diese Darstellung wurde 1974 von Riley gefunden.[1] Ihr Bild liegt in der Bianchi-Gruppe   und hat dort endlichen Index.

Bis auf komplexe Konjugation und Konjugation mit Matrizen aus   ist dies die einzige hyperbolische Struktur, siehe Mostow-Starrheit.

Das Achterknotenkomplement ist die einzige hyperbolische Mannigfaltigkeit, für die Gleichheit in der Jørgensen-Ungleichung gilt, die also von 2 Elementen   mit   erzeugt wird.

Ideale Triangulierung

Bearbeiten

Man erhält das Achterknotenkomplement durch Verkleben zweier idealer Tetrahedra.

Seien   die Ecken der bereits entlang der gemeinsamen Seitenfläche   verklebten Tetraeder, dann wird die Seitenfläche   mit  ,   mit   und   mit   verklebt.

Als Fundamentalbereich der Wirkung von   im Halbraum-Modell des hyperbolischen Raumes kann man die Vereinigung der beiden entlang der gemeinsamen Seitenfläche   verklebten idealen Tetraeder mit Ecken

 

nehmen. (Hier wurde der Rand im Unendlichen des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes mit   identifiziert.)

Die Verklebeabbildungen werden dann von den Matrizen

 

mit   realisiert.[2]

Arithmetische Invarianten

Bearbeiten

Das Achterknotenkomplement ist das einzige arithmetische hyperbolische Knotenkomplement.[3]

Sein Spurkörper ist   und seine Quaternionenalgebra ist  .

Hyperbolisches Volumen

Bearbeiten

Das hyperbolische Volumen des Achterknotenkomplements beträgt

 .

Hierbei ist   der Bloch-Wigner-Dilogarithmus und  .

Dies ergibt sich, weil die idealen Tetraeder der obigen Triangulierung beide regelmäßige Tetraeder und somit alle Diederwinkel   sind. Das Volumen des idealen Tetraeders   mit diedrischen Winkeln   kann mittels der Lobatschewski-Funktion berechnet werden als   und für   ergibt sich daraus  .

Cao und Meyerhoff haben 2001 bewiesen, dass das Achterknotenkomplement das hyperbolische Knotenkomplement kleinsten Volumens ist.[4]

Achterknotenkomplement als Abbildungstorus

Bearbeiten

Das Achterknotenkomplement ist der Abbildungstorus der Arnoldschen Katzenabbildung   des einfach punktierten Torus.

Die Fundamentalgruppe der Faser ist die freie Gruppe  . Man hat also eine exakte Sequenz

 ,

die Monodromie   ist das Produkt   aus den Dehn-Twists   und   an Longitude und Meridian des Torus.

Assoziiert zu einem Abbildungstorus einer Selbstabbildung eines punktierten Torus hat man eine kanonische ideale Triangulierung[5][6] und im Fall der Monodromie   liefert diese die oben beschriebene ideale Triangulierung des Achterknotenkomplements.

Schwestermannigfaltigkeit

Bearbeiten

Als Schwestermannigfaltigkeit des Achterknoten-Komplements wird die 3-Mannigfaltigkeit bezeichnet, die man durch  -Dehn-Chirurgie an der Whitehead-Verschlingung erhält. Sie lässt sich ebenso wie das Achterknoten-Komplement aus zwei idealen Tetrahedra zusammensetzen und ist gemeinsam mit dem Achterknoten-Komplement die nichtkompakte, orientierbare, hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit kleinsten Volumens.

Literatur

Bearbeiten
  • W. P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds. Lecture Notes, Princeton University 1976–79 online
  • Colin MacLachlan, Alan Reid: The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds. Graduate Texts in Mathematics, 219. Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-98386-4
Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Robert Riley: A personal account of the discovery of hyperbolic structures on some knot complements
  2. MacLachlan-Reid, op.cit., Section 4.4.2
  3. Alan Reid: Arithmeticity of knot complements. J. London Math. Soc. (2) 43 (1991), no. 1, 171–184.
  4. Chun Cao, Robert Meyerhoff: The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume. Invent. Math. 146 (2001), no. 3, 451–478.
  5. William Floyd, Allen Hatcher: Incompressible surfaces in punctured-torus bundles. Topology Appl. 13 (1982), no. 3, 263–282.
  6. François Guéritaud: On canonical triangulations of once-punctured torus bundles and two-bridge link complements. With an appendix by David Futer. Geom. Topol. 10 (2006), 1239–1284.