Jørgensen-Ungleichung

Hyperbolische Mathematik

In der hyperbolischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Jørgensen-Ungleichung eine notwendige Bedingung für die Diskretheit von Gruppen von Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes . Sie geht auf Troels Jørgensen zurück.

Ungleichung

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Es sei   eine von zwei Matrizen   erzeugte nicht-elementare Kleinsche Gruppe, dann gilt die Ungleichung

 ,

wobei   die Spur einer Matrix und   den Kommutator zweier Matrizen bezeichnet.

Anschaulich sagt die Bedingung, dass zwei Elemente, die eine nicht-elementare diskrete Gruppe erzeugen, nicht zu nahe an der Identität sein können.

Gleichheit

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Die einzige hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe von 2 Elementen   mit   erzeugt wird, ist das Komplement des Achterknotens.[1]

Die einzigen diskreten Untergruppen von  , die von 2 Elementen   mit   erzeugt werden, sind die Hyperbolische Dreiecksgruppen der Signatur   mit  .[2]

Weiterhin gibt es zu jedem   eine diskrete Gruppe   mit  .[3]

Anwendungen

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  • Die Jørgensen-Ungleichung wird in zahlreichen Konvergenzbeweisen in der Theorie der Kleinschen Gruppen verwendet.
  • Jørgensens ursprüngliche Anwendung war der Beweis des folgenden Konvergenzsatzes: Sei   eine nicht-elementare Kleinsche Gruppe und   eine Folge von Isomorphismen von  , die gegen einen Homomorphismus   konvergiert, dann ist   eine Kleinsche Gruppe und   ist ein Isomorphismus.
  • Falls   parabolisch ist, erhält man das klassische Resultat über die Existenz präzis invarianter Horosphären.
  • Es gibt zahlreiche Verallgemeinerungen der Jørgensen-Ungleichung auf diskrete Gruppen von Isometrien anderer metrischer Räume.

Literatur

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  • Jørgensen, Troels: On discrete groups of Möbius transformations. Amer. J. Math. 98 (1976), no. 3, 739–749. pdf
  • Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9 (Kapitel 2.2)

Einzelnachweise

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  1. Callahan: Jørgensen number and arithmeticity. Conform. Geom. Dyn., 13 (2009), 160–186.
  2. T. Jørgensen, M. Kiikka: Some extreme discrete groups. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 1(2):245–248, 1975.
  3. Y. Yamashita, R. Yamazaki: The realization problem for Jørgensen numbers. Conform. Geom. Dyn., 23 (2019), 17–31.