In der Mathematik ist eine verzweigte Überlagerungen eine spezielle stetige Funktion, die man in der Regel zwischen riemannschen Flächen betrachtet. Sie kann in einem gewissen Sinne als Verallgemeinerung der ansonsten aus der Topologie bekannten Überlagerung betrachtet werden.

Motivation

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Eine in der Topologie sehr gebräuchliche Definition lautet folgendermaßen:

Seien  ,  zwei topologische Räume. Eine stetige Funktion   heißt Überlagerung, falls zu jedem Punkt   eine Umgebung   existiert, sodass   eine disjunkte Vereinigung von offenen Mengen   ist und jedes   durch   homöomorph auf   abgebildet wird. Die   nennen wir Blätter.[1]

Die Definition hat zur Folge, dass ein Monom  ,  , für ein natürliches   keine Überlagerung mehr sein kann. Denn die Ableitung   ist für   zwar ungleich 0 und lässt sich daher nach dem Satz über die Umkehrabbildung homöomorph auf einzelne disjunkte Blätter abbilden, aber im Punkt   verzweigen sich die Punkte, d. h. man wird keine Umgebung finden, sodass das Urbild als disjunkte Vereinigung offener Bilder darstellen lässt. Das ist für die Theorie der Riemannschen Flächen ungünstig, da jede nicht-konstante holomorphe Funktion lokal die Gestalt eines Monoms aufweist. Das heißt: Ist   eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen, so gibt es für jeden Punkt   Karten   und  , sodass   gilt. Somit kann nach der Definition keine nicht-konstante holomorphe Funktion eine Überlagerung sein. Anschaulich gesagt ist das Hauptproblem die „Verzweigung“ eines Monoms im Ursprung, was den Begriff der verzweigten Überlagerung motiviert.

Definitionen

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Im Folgenden ist eine Riemannsche Fläche stets zusammenhängend. Je nach Literatur gibt es unterschiedliche Definitionen und Zugänge zu verzweigten Überlagerungen. Die nachfolgende orientiert sich an die aus dem Buch Riemannsche Flächen von Otto Forster.[2]  In der Literatur findet man noch andere Definitionen, die sich aber auf riemannschen Flächen in der Regel nur geringfügig unterscheiden.[3]

Allgemeine topologische Räume

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Seien   topologische Räume und   eine Abbildung.

  • Eine Abbildung   nennen wir Überlagerung, falls sie stetig, offen und diskret ist, d. h. es handelt sich um eine stetige Abbildung, die offene Mengen auf offene Mengen abbildet und jedes einelementige Urbild nur aus isolierten Punkten besteht.
  •   nennen wir Verzweigungspunkt einer Überlagerung  , falls keine Umgebung   von   existiert, sodass  injektiv ist.
  • Eine Überlagerung   ist unverzweigt, falls sie keine Verzweigungspunkte besitzt. Ansonsten ist sie verzweigt.

Holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen

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Es lässt sich zeigen, dass genau dann eine stetige Funktion   zwischen riemannschen Flächen eine Überlagerung ist, wenn die Funktion nichtkonstant ist.

  • Eine nicht-konstante stetige Funktion   zwischen riemannschen Flächen nennen wir holomorphe Überlagerung, falls sie holomorph ist.
  • Für jedes   gibt es Karten für   und   und es existiert ein  , sodass die lokale Darstellung von   in   von der Form   ist.[2]   Dieses   wird als Verzweigungsindex von   in   bezeichnet. Ein Punkt   heißt Verzweigungspunkt von  , wenn  .
  • Der Grad   einer nicht-konstante, holomorphe Abbildung   zwischen kompakten Riemannschen Flächen ist die Kardinalität der Faser eines nicht-Verzweigungspunktes  , i. e.  . Diese Zahl ist endlich, da für jedes   die Faser   diskret ist[2]   und sie ist wohldefiniert, da für je zwei  , welche keine Verzweigungspunkte sind, gilt:  .[2]   Für den Grad gilt:
  [2]  

Wir sagen dann auch, dass   eine  -blättrige Überlagerung sei.

Beispiele

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Jede beliebige nicht-konstante holomorphe Funktion ist eine Überlagerung. Verzweigte Überlagerungen spielen in der komplexen Geometrie vor allem im Kontext von Hurwitz-Zahlen eine große Rolle. Dort betrachtet man insbesondere holomorphe Überlagerungen über der Riemannschen Zahlenkugel.

Unverzweigte Überlagerungen entsprechen nicht der Definition der Überlagerung, die im Abschnitt „Motivation“ beschrieben wurde. Solche Überlagerungen nennt man unverzweigte, unbegrenzte Überlagerungen. Entgegen der Intuition sind nicht automatisch alle unverzweigte Überlagerungen unbegrenzt: Die kanonische Inklusion   ist zwar eine unverzweigte Überlagerung, aber nicht unbegrenzt. Es lässt sich aber zeigen, dass für lokal-kompakte topologische Räume durch die Entfernung aller Verzweigungspunkte und deren Bilder eine unverzweigte, unbegrenzte Überlagerung entsteht.

Eigenschaften

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Für eine holomorphe Überlagerung zwischen Riemannschen Flächen gilt folgendes:

  • Die Menge aller Verzweigungspunkte ist diskret.
  • Jede eigentliche, holomorphe Überlagerung ist surjektiv.
  • Für eine  -blättrige Überlagerung gilt
 
wobei   die Euler-Charakteristik und   den Verzweigungsindex von   an der Stelle   bezeichnet. Das ist die Formel von Riemann-Hurwitz. Bezeichnen wir mit   und mit   jeweils die Geschlechter von   und  , so wird die Formel von Riemann-Hurwitz häufig in der Form
 
oder
 
dargestellt. (Hier macht man sich zunutze, wie die Euler-Charakteristik für eine Mannigfaltigkeit eines bestimmten Geschlechtes ausgerechnet wird).

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press 2002, S. 56.
  2. a b c d e Otto Forster: Riemannsche Flächen. Springer, 1977.
  3. Eine andere Definition, die auf den Riemannschen Flächen äquivalent ist, wird zum Beispiel im Buch Riemannsche Flächen von Lamotke vorgestellt (siehe Literatur).