Eigentliche Abbildungen sind spezielle stetige Abbildungen, die im mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie untersucht werden. Im Wesentlichen zeichnen sich eigentliche Abbildungen dadurch aus, dass sie besonders gut mit kompakten Mengen interagieren.

Definitionen

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Die Definition eigentlicher Abbildungen variiert von Autor zu Autor. Eine häufig verwendete Definition ist:

Viele Autoren fordern zusätzlich noch dass alle eigentlichen Abbildungen abgeschlossen sind, also abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen abbilden. Mit dieser strengeren Definition ist eine stetige Abbildung   also genau dann eigentlich wenn die folgenden äquivalenten[1] Eigenschaften erfüllt sind:

  •   ist abgeschlossen und das Urbild jeder kompakten Menge ist kompakt.
  •   ist abgeschlossen und alle Fasern   sind kompakt.
  • Für jeden topologischen Raum   ist die Abbildung   abgeschlossen.
  • Für jede stetige Abbildung   ist die zum Faserprodukt   von   und   gehörige Abbildung   abgeschlossen.

Für Abbildungen  , deren Zielraum   lokalkompakt und Hausdorff ist, sind die beiden Definitionen äquivalent; im allgemeinen Fall gibt es aber auch stetige Abbildungen die nur nach der ersten Definition eigentlich sind. Im Folgenden ist mit „eigentlich“, sofern nicht anders angedeutet, stets die zweite Definition gemeint.

Einige Autoren fordern mit einer noch stärkeren Definition sogar dass alle eigentlichen Abbildungen separiert sind in dem Sinne, dass ihre Fasern relativ zum Definitionsraum Hausdorff sind. Diese Definition ist vor allem in der algebraischen Geometrie verbreitet, wegen ihrer Relation zu eigentlichen Schemamorphismen.[1]

Beispiele

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  • Jede Abbildung von einem kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum ist eigentlich.
  • Jede Einbettung mit abgeschlossenem Bild ist eigentlich, also insbesondere auch jeder Homöomorphismus, jeder Diffeomorphismus und jede biholomorphe Abbildung.
  • Überlagerungen sind genau dann eigentlich wenn sie endlichen Grad haben.
  • Die Abbildung   von   in einen einelementigen Raum ist eigentlich genau dann wenn   kompakt ist.
  • Konstante Abbildungen   sind immer eigentlich im Sinne der ersten Definition wenn   kompakt ist, aber nur dann eigentlich im Sinne der zweiten Definition wenn zudem noch   in   abgeschlossen ist.

Eigenschaften

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  • Unter eigentlichen Abbildungen sind die Bilder abgeschlossener Mengen immer abgeschlossen und die Urbilder kompakter Mengen immer kompakt.
  • Die Einschränkung   einer eigentlichen Abbildung   auf einen abgeschlossenen Unterraum   ist immer eigentlich.
  • Die Koeinschränkung   einer stetigen Abbildung   mit   ist eigentlich wenn   eigentlich ist. Die Umkehrung gilt wenn   abgeschlossen ist.
  • Die Komposition eigentlicher Abbildungen ist wieder eigentlich. Topologische Räume zusammen mit den eigentlichen Abbildungen bilden also eine Unterkategorie der Kategorie der stetigen Funktionen.
  • Sind   topologische Räume und sind   eigentliche Abbildungen, so ist   wieder eine eigentliche Abbildung.
  • Ist   ein kompakter Raum und   ein beliebiger topologischer Raum und   das topologische Produkt, dann ist die Projektion   eine eigentliche Abbildung.

Anwendungen

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Eigentliche Abbildungen spielen eine Rolle in verschiedenen Konstruktionen mit kompakten Räumen. Zum Beispiel ist für stetige Funktionen   die durch   definierte Fortsetzung   auf die Einpunktkompaktifizierungen von   und   genau dann stetig wenn unter   alle Urbilder von abgeschlossenen kompakten Mengen kompakt sind; da dies für alle eigentlichen Abbildungen der Fall ist aber nicht für alle stetigen Abbildungen bildet die Einpunktkompaktifizierung einen Funktor auf der Kategorie aller eigentlichen Abbildungen aber nicht auf der Kategorie aller topologischen Räume. Ein ähnliches Problem ergibt sich bei Kohomologie mit kompaktem Träger: diese ist ebenfalls nur auf der Kategorie der eigentlichen Abbildungen funktoriell, aber nicht auf der aller stetigen Abbildungen.[2] Insbesondere ist sie nicht homotopieinvariant, sondern wird nur von in dem Sinne eigentlichen Homotopieäquivalenzen erhalten als dass alle beteiligten Abbildungen (also die Abbildung selber, ihr Homotopieinverses und die beiden Homotopien) eigentliche Abbildungen sind.

Literatur

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  • Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4.
  • Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Bd. 15). Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X.
  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.

Einzelnachweise

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  1. a b Stacks project: Tag 005M. Man beachte, dass dort kompakte Mengen und die drei hier diskutierten Eigentlichkeitsbegriffe quasi-compact, quasi-proper, Bourbaki-proper und proper genannt werden.
  2. Hatcher: The Duality Theorem (PDF; 140 kB).