Stokes-Automorphismus

Begriff aus der Écalle-Theorie (Theorie der resurgenten Funktionen) und asymptotischen Analysis

Der Stokes-Automorphismus ist ein Begriff aus der Écalle-Theorie (Theorie der resurgenten Funktionen) und der asymptotischen Analysis. Der Automorphismus stellt einen Zusammenhang zwischen zwei gerichteten Borel-Resummierungen bzw. Borel-Laplace-Transformationen dar, welche durch eine Stokes-Linie getrennt werden.

Bei asymptotischen Entwicklungen von komplex-wertigen Funktionen spielt das Argument eine zentrale Rolle und so können unterschiedliche asymptotische Entwicklungen für dieselbe Funktion auftreten. Das klassische Beispiel ist die Airy-Funktion. Die verschiedenen Regionen werden durch die Stokes- und Anti-Stokes-Linien getrennt. Bildet man nun Resummierungen, das heißt Borel-Summierungen mit Laplace-Transformationen, können diese durch Stokes-Linien getrennt sein.

Der Stokes-Automorphismus ist nach Sir George Gabriel Stokes benannt.

Stokes-Automorphismus

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Mit   bezeichnen wir den Raum der simplen  -resurgenten Reihen d. h. Potenzreihen, deren formale Borel-Transformation simple  -resurgente Funktionen sind. Die nachfolgende Definition wird für Elemente aus   definiert, kann aber auf den Raum der resurgenten Funktionen   erweitert werden.

Sei  , dann ist die laterale Borel-Summierung entlang   definiert durch

 
 

wobei   und   die Borel-Transformation von   bezeichnet.

Sei   die laterale Borel-Summierung, dann ist der Stokes-Automorphismus   definiert als  .[1]

Literatur

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  • Claude Mitschi, David Sauzin: Divergent Series, Summability and Resurgence I. 1. Auflage. Springer Verlag, Schweiz 2016, ISBN 978-3-319-28735-5 (englisch).

Einzelnachweis

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  1. Daniele Dorigoni: An introduction to resurgence, trans-series and alien calculus. In: Elsevier BV (Hrsg.): Annals of Physics, vol 409. 2019, doi:10.1016/j.aop.2019.167914, arxiv:1411.3585.