Resurgente Funktion

Der Begriff stammt aus der Écalle-Theorie (auch Theorie der resurgent functions und des Alien-Kalküls)

Der Begriff resurgente Funktion (von lateinisch resurgere, wieder aufstehen) stammt aus der Écalle-Theorie (auch Theorie der resurgenten Funktionen und des Alien-Kalküls). Die Theorie hat sich aus der Summierbarkeit divergenter Reihen (siehe Borel-Summation) entwickelt und behandelt analytische Funktionen mit isolierten Singularitäten. Der Begriff wurde in den späten 1970ern von dem französischen Mathematiker Jean Écalle eingeführt.

Resurgente Funktionen haben Anwendung in der asymptotischen Analysis, in der Theorie der Differentialgleichungen, der Störungstheorie und der Quantenfeldtheorie.

Für analytische Funktionen mit isolierten Singularitäten lässt sich das Alien-Kalkül (Alien calculus) herleiten, eine spezielle Algebra für ihre Ableitungen.

Definition

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Eine  -resurgente Funktion ist ein Element aus  , das heißt ein Element der Form   aus  , wobei   und   ein  -fortsetzbarer Keim ist.[1]

Eine Potenzreihe  , deren formale Borel-Transformation eine  -resurgente Funktion ist, nennt man  -resurgente Reihe.

Grundbegriffe und Notation

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Konvergenz in  :

Die formale Potenzreihe   ist konvergent in  , falls die assoziierte formale Potenzreihe   einen positiven Konvergenzradius hat. Mit   bezeichnet man den Raum der formalen Potenzreihen konvergent in  .[1]

Formale Borel-Transformation:

Die formale Borel-Transformation (nach Émile Borel benannt) ist der Operator   definiert durch

 .[1]

Konvolution in  :

Seien  , dann ist die Konvolution geben durch

 .

Durch Adjunktion können wir der Konvolution in   eine Einheit hinzufügen und führen den Vektorraum   ein, wobei wir das Element   mit   bezeichnen. Mit der Konvention   können wir den Raum als   interpretieren und definieren

 

und setzen  .[1]

 -fortsetzbarer Keim:

Sei   eine nicht-leere, diskrete Untermenge von   und definieren  .

Sei   der Konvergenzradius von  .   ist ein  -fortsetzbarer Keim, falls ein   existiert, so dass   und  , und   analytische Fortsetzungen besitzt, entlang irgendeines Pfades in   beginnend in einem Punkt in  .

  bezeichnet den Raum der  -fortsetzbaren Keime in  .[1]

Literatur

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  • Les Fonctions Résurgentes, Jean Écalle, Band 1–3, Pub. Math. Orsay, 1981–1985
  • Divergent Series, Summability and Resurgence I, Claude Mitschi und David Sauzin, Springer Verlag

Einzelnachweis

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  1. a b c d e Claude Mitschi, David Sauzin: Divergent Series, Summability and Resurgence I. 1. Auflage. Springer Verlag, Schweiz 2016, ISBN 978-3-319-28735-5 (englisch).