Schubmodul

Quotient aus Scherspannung und daraus resultierender Scherdehnung

Der Schubmodul (auch Gleitmodul, G-Modul, Schermodul oder Torsionsmodul) ist eine Materialkonstante, die Auskunft gibt über die linear-elastische Verformung eines Bauteils infolge einer Scherkraft oder Schubspannung. Die SI-Einheit ist Newton pro Quadratmeter (1 N/m² = 1 Pa), also die Einheit einer mechanischen Spannung. In Materialdatenbanken wird der Schubmodul üblicherweise in N/mm² (=MPa) oder kN/mm² (=GPa) angegeben.

Physikalische Größe
Name Schubmodul
Formelzeichen G
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI Pa = N/m2 = kg·m−1·s−2 M·L−1·T−2
cgs Ba = dyn/cm2 = cm−1·g·s−2
Siehe auch: Elastizitätsmodul E Spannung (Mechanik)
Material Typische Werte für
den Schubmodul in GPa
(bei Raumtemperatur)[1]
Stahl 79,3–81[2]
Silicium (polykristallin) 65[3]
Kupfer 47
Titan 41,4
Glas 26,2
Aluminium 25,5
Magnesium 17
Polyethylen 00,117
Gummi 00,0003
Schubmodul eines speziellen Basisglases:
Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile[4]

Im Rahmen der Elastizitätstheorie entspricht der Schubmodul der zweiten Lamé-Konstanten und trägt dort das Symbol .

Definition

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Der Schubmodul beschreibt das Verhältnis zwischen der Schubspannung   und dem Tangens des Schubwinkels   (Gleitung):

 

Für kleine Winkel   kann in erster Näherung   gesetzt werden (Kleinwinkelnäherung).

Diese Formel ist analog zum Hooke’schen Gesetz für den 1-achsigen Spannungszustand:

 


Die Schubsteifigkeit ist das Produkt aus dem Schubmodul   des Werkstoffs und der Querschnittsfläche  :

  zum Beispiel in  

Der querschnittsabhängige Korrekturfaktor   berücksichtigt dabei die über den Querschnitt ungleichförmige Verteilung der Schubspannung  . Oft wird die Schubsteifigkeit auch mithilfe der Schubfläche   ausgedrückt.


Bei Torsionsbelastung eines Bauteils berechnet sich seine Torsionssteifigkeit aus dem Schubmodul und dem Torsionsträgheitsmoment  , das auf die Achse bezogen ist, um die der Körper tordiert wird:

 

analog zur Ermittlung der Dehnsteifigkeit (aus dem Produkt von Elastizitätsmodul und Querschnittsfläche).

Zusammenhang mit anderen Materialkonstanten

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Bei einem isotropen Material steht der Schubmodul mit dem Elastizitätsmodul E, der Querkontraktionszahl ν (Poissonzahl) und dem Kompressionsmodul K in folgender Beziehung:

 

Für linear-elastisches, nicht-auxetisches Material ist die Poissonzahl größer-gleich null. Aus der Energieerhaltung ergibt sich die positive Definitheit von Kompressionsmodul und E-Modul. Daraus folgt, dass die Poissonzahl unter 0,5 liegt.   Somit ergibt sich für den Schubmodul der meisten Materialien im linear-elastischen Bereich:

 

Auxetische Materialien sind so definiert, dass sie eine negative Poissonzahl haben, was nur bei wenigen Materialien der Fall ist. Da der Schubmodul aufgrund der Energieerhaltung eine positiv definite Größe hat, gilt für auxetische Materialien im linear-elastischen Bereich:

 

Da auch der E-Modul positiv definit ist, ergibt sich für die Poissonzahl der Gültigkeitsbereich  

Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten isotroper Festkörper

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Der Modul… …ergibt sich aus:[5]
                     
Kompressionsmodul                           
Elastizitätsmodul                        
1. Lamé-Konstante                         
Schubmodul   bzw.  
(2. Lamé-Konstante)
                      
Poissonzahl                          
Longitudinalmodul                         

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Crandall, Dahl, Lardner: An Introduction to the Mechanics of Solids. McGraw-Hill, Boston 1959.
  2. Eurocode 3: Stahlbau. Abgerufen am 7. Mai 2020.
  3. Matthew A. Hopcroft, William D. Nix, Thomas W. Kenny: What is the Young’s Modulus of Silicon? In: Journal of Microelectromechanical Systems. Band 19, Nr. 2, 2010, S. 229–238, doi:10.1109/JMEMS.2009.2039697.
  4. Berechnung des Schubmoduls von Gläsern (englisch).
  5. G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin: The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-54344-4 (paperback).