Satz von Hartogs (Funktionentheorie)

mathematischer Satz

Als Satz von Hartogs wird in der Funktionentheorie mehrerer komplexer Variablen die grundlegende Aussage verstanden, wonach eine bezüglich jeder Variablen separat holomorphe Funktion insgesamt holomorph ist. Benannt ist der Satz nach dem Mathematiker Friedrich Moritz Hartogs.

Das Lemma von Osgood macht eine ähnliche Aussage, jedoch ist bei diesem vorausgesetzt, dass die Ausgangsfunktion stetig ist. Diese ist somit ein Spezialfall des Satzes von Hartogs.

Sei   eine offene Teilmenge,   seien Punkte und sei  . Für eine Funktion   bezeichne   die Funktion

 .

Ist   für alle   und für alle   eine holomorphe Funktion, dann ist   holomorph.

Interpretation

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Im Satz wird die Stetigkeit der Funktion   nicht vorausgesetzt, lediglich die Holomorphie bezüglich der einzelnen Variablen separat. Durch Weglassen der Stetigkeits-Bedingung wird der Beweis wesentlich komplizierter, zeigt aber auch deutliche Unterschiede zum reellen Fall:

Zum Beispiel besitzt die Funktion   keine stetige Fortsetzung im Punkt  , ist aber reell-analytisch bezüglich jeder Variablen. Der Satz von Hartogs schließt ein solches Phänomen für holomorphe Funktionen aus.

Vom Standpunkt der partiellen Differentialgleichungen kann der Satz von Hartogs auch so interpretiert werden, dass die Lösungen der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen bei reeller Differenzierbarkeit ohne weitere Regularitätsvoraussetzungen automatisch bezüglich aller Variablen holomorph sind.

Literatur

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  • Steven G. Krantz: Function Theory of Several Complex Variables. AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island 1992.