Lemma von Osgood

Aussage aus der Funktionentheorie

Das Lemma von Osgood, benannt nach William Osgood, ist eine Aussage aus der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Eine stetige in jeder Variable holomorphe Funktion ist bereits holomorph.[1]

Definition

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Es sei   eine offene Menge im n-dimensionale komplexen Vektorraum  . Eine Funktion   heißt holomorph in jeder Variablen, wenn für alle   und alle   die Funktionen

 

holomorph sind, das heißt, wenn die aus   durch Einfrieren aller bis auf eine Variable entstehenden Funktionen sämtlich holomorph sind.

Eine holomorphe Funktion   ist natürlich holomorph in jeder Variablen. Zur Umkehrung gilt das Lemma von Osgood:[2]

  • Ist   eine offene Menge und   eine stetige Abbildung, die holomorph in jeder Variablen ist, so ist   bereits holomorph.

Bemerkung

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Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit kann man iterativ die cauchysche Integralformel für eine abgeschlossene Polykreis-Umgebung   eines Punktes   anwenden und erhält

      für       .

Indem man, ähnlich wie in der Funktionentheorie einer Veränderlichen, den Nenner des Integranden in ein Produkt von   geometrischen Reihen um   entwickelt, erhält man eine Potenzreihenentwicklung für   um  , was den Beweis beendet.[3]

Die Aussage aus dem Lemma von Osgood bleibt richtig, wenn man auf die Stetigkeitsvoraussetzung verzichtet. Diese Aussage ist dann deutlich schwieriger zu beweisen und als Satz von Hartogs bekannt. Für viele Anwendungen genügt aber das Lemma von Osgood, da die Stetigkeit oft klar ist.

Einzelnachweise

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  1. William F. Osgood: Note über analytische Funktionen mehrerer Veränderlichen, Mathematische Annalen 1899, Band 52, Seiten 462–464
  2. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. I, Theorem 2 (Osgood's Lemma)
  3. Joseph L. Taylor: Several Complex Variables with Connections to Algebraic Geometry and Lie Groups, American Mathematical Society 2002, ISBN 0-8218-3178-X, Satz 2.1.2