In der Mathematik besagt der Satz von Cartan, in der englischsprachigen Literatur auch als Closed Subgroup Theorem bezeichnet, dass abgeschlossene Untergruppen einer Lie-Gruppe eingebettete Untermannigfaltigkeiten und insbesondere Unter-Lie-Gruppen sind. Er wurde 1930 von Élie Cartan und für Matrixgruppen bereits 1929 von John von Neumann bewiesen. Er ist von Bedeutung für die Klassifikation linearer Gruppen und für die Konstruktion homogener Räume.

Erläuterungen und Beispiele

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Torus

Eine Untergruppe einer Lie-Gruppe muss nicht notwendig abgeschlossen in der Topologie der Lie-Gruppe sein. Beispielsweise sind die Untergruppen des Torus

 

von der Form

 

für ein  . Während man für   eine abgeschlossene Untergruppe   erhält, liegen für irrationale Zahlen   die Untergruppen   dicht in   und sind insbesondere nicht abgeschlossen.

Wenn die Untergruppe   nicht abgeschlossen in   ist, dann stimmt die von der Topologie von   erzeugte Unterraumtopologie von   nicht mit der Lie-Gruppen-Topologie von   überein. Im obigen Beispiel sind für   die Untergruppen   zwar abstrakt (als Gruppen) isomorph zu  , die vom Torus induzierte Topologie stimmt aber nicht der Topologie der Lie-Gruppe   überein. Dagegen sind für   die abgeschlossenen Untergruppen   auch als Lie-Gruppen isomorph zur Kreisgruppe  .

Satz von Cartan: Eine Untergruppe   einer Lie-Gruppe   ist genau dann eine eingebettete Unter-Lie-Gruppe, wenn sie abgeschlossen ist.

Literatur

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  • John von Neumann: Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen. Math. Z. 30 (1929), no. 1, 3–42.
  • Elie Cartan: La théorie des groupes finis et continus et l'Analysis Situs. Mémorial Sc. Math. XLII, pp. 1–61 (1930).