Riemannscher homogener Raum

Raum der in allen Punkten gleich aussieht

Im mathematischen Gebiet der Differenzialgeometrie ist ein Riemannscher homogener Raum (häufig auch nur Homogener Raum) ein Raum, der „in allen Punkten gleich aussieht“.

Definition

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Ein Riemannscher homogener Raum ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit  , deren Isometriegruppe transitiv wirkt, d. h. zu je zwei Punkten   gibt es eine Isometrie   mit  .

Beschreibung mittels Lie-Gruppen

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Jeder Riemannsche homogene Raum ist von der Form

 

für eine Lie-Gruppe   und eine kompakte Untergruppe  .

Umgekehrt ist für eine Lie-Gruppe   und eine abgeschlossene Untergruppe   der Quotientenraum   eine Hausdorffsche differenzierbare Mannigfaltigkeit und jedes unter der adjungierten Wirkung von   auf der Lie-Algebra   invariante Skalarprodukt definiert eine links-invariante Riemannsche Metrik, mit der   ein Riemannscher homogener Raum wird. Ein solches  -invariantes Skalarprodukt auf   existiert genau dann, wenn   kompakt ist.

Riemannsche Metrik

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Ein Riemannscher homogener Raum   hat nach Definition eine  -invariante Metrik, die sich zu einer links-invarianten Metrik auf   hochheben lässt. Die Quotientenabbildung   ist bzgl. dieser Metriken eine Riemannsche Submersion. Insbesondere kann man die Krümmung von   mit der O’Neill-Formel berechnen, wenn man die Krümmung von   kennt.

Beispiele

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  • Jede Lie-Gruppe mit einer links-invarianten Metrik ist ein Riemannscher homogener Raum.
  • Jeder symmetrische Raum ist ein Riemannscher homogener Raum.
  • Es gibt nicht-Riemannsche homogene Räume   mit einer nicht-kompakten Untergruppe  .

Literatur

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  • Jeff Cheeger, David G. Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry. North-Holland Mathematical Library, Vol. 9. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-Oxford; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, 1975.