Satz von Ajtai-Komlós-Tusnády

Satz aus der probabilistischen Kombinatorik

Der Satz von Ajtai-Komlós-Tusnády (auch AKT optimal matching theorem) ist ein Satz aus der probabilistischen Kombinatorik. Gegeben sind zwei zufällige, verschiedene Mengen von Punkten und im Einheitsquadrat . Dann macht der Satz eine Aussage über die obere und untere Schranke der kleinsten Summe der Distanzen der Punkte.

Der Satz wurde 1984 von den ungarischen Mathematikern Miklós Ajtai, János Komlós und Gábor Tusnády bewiesen.[1]

Seien   und   zwei unabhängige Zufallsvektoren, welche der Gleichverteilung auf   folgen (d. h.  .) Sei   die symmetrische Gruppe und   die euklidische Norm in  .

Dann gilt

 

wobei   reelle Konstanten sind.

Erläuterungen

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  •   bedeutet
      siehe Landau-Symbole.
  • Der Satz sagt, dass
 
mit hoher Wahrscheinlichkeit.

Literatur

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  • Sergey Bobkov und Michel Ledoux: A simple Fourier analytic proof of the AKT optimal matching theorem. 2019 (englisch).
  • Ajtai, M., Komlos, Janos und Tusnády, G.: On optimal matchings. In: Combinatorica. Band 4, 1984, S. 259–264, doi:10.1007/BF02579135 (englisch).
  • Michel Talagrand: Matching theorems and empirical discrepancy computations using majorizing measures. In: Journal of the American Mathematical Society. Band 7, 1994, S. 455–537, doi:10.1090/S0894-0347-1994-1227476-X (englisch).

Einzelnachweise

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  1. Ajtai, M., Komlos, Janos und Tusnády, G.: On optimal matchings. In: Combinatorica. Band 4, 1984, S. 259–264, doi:10.1007/BF02579135.