In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Ricci-Solitonen eine Klasse Riemannscher Mannigfaltigkeiten, zu denen insbesondere die Einstein-Mannigfaltigkeiten gehören.

Definition

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Eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit   ist ein Ricci-Soliton, wenn es ein Vektorfeld   mit Lie-Ableitung   gibt, so dass für die Ricci-Krümmung die punktweise Gleichung

 

mit einer Konstanten   gilt. (Insbesondere erhält man für   die Einstein-Mannigfaltigkeiten.)

Wenn   ein Gradientenfeld   für eine Funktion   ist, heißt   ein Gradienten-Ricci-Soliton. In diesem Fall gilt

 .

Selbstähnliche Lösungen des Ricci-Flusses

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Ein Ricci-Soliton   gibt eine selbstähnliche Lösung   des Ricci-Flusses   wie folgt.

Setze   und  . Der Fluss des Vektorfelds   definiert eine 1-Parameter-Familie von Diffeomorphismen   und man definiert

 ,

was eine Lösung des Ricci-Flusses ist. Für   ist es eine expandierende Lösung, für   eine beständige und für   eine schrumpfende Lösung.

Literatur

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  • Bennett Chow, Peng Lu, Lei Ni: Hamilton's Ricci flow. Graduate Studies in Mathematics 77, AMS (2006)