Satz von Hopf-Rinow

mathematischer Satz

Der Satz von Hopf-Rinow ist eine zentrale Aussage aus der riemannschen Geometrie. Er besagt, dass bei riemannschen Mannigfaltigkeiten die Begriffe der geodätischen Vollständigkeit und der Vollständigkeit im Sinne von metrischen Räumen zusammenfallen. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit dieser Eigenschaft heißt dann vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit. Benannt ist der Satz nach den Mathematikern Heinz Hopf und seinem Schüler Willi Rinow.

Geodätisch vollständige Mannigfaltigkeit

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Eine zusammenhängende Riemann’sche Mannigfaltigkeit   heißt geodätisch vollständig, falls für alle   die Exponentialabbildung   für alle   definiert ist. Das heißt, für jeden Punkt   und jeden Tangentialvektor   ist die Geodäte   mit   und   auf ganz   definiert.

Satz von Hopf und Rinow

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Sei   eine endlichdimensionale, zusammenhängende Riemann’sche Mannigfaltigkeit. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

  1. Die Mannigfaltigkeit   ist geodätisch vollständig.
  2. Es existiert ein   so dass   für alle   definiert ist.
  3. Die Mannigfaltigkeit   ist vollständig als metrischer Raum.
  4. Die Heine-Borel-Eigenschaft gilt. Das heißt, jede abgeschlossene und beschränkte Teilmenge ist kompakt.

Aus diesen vier äquivalenten Aussagen lässt sich eine weitere folgern.

  • Für alle   existiert eine Geodäte  , welche die Punkte   und   auf kürzestem Weg verbindet.

Die Abstandsfunktion   ist hierbei definiert als das Infimum über die Bogenlängen aller stückweise differenzierbaren Kurven   mit   und  ; das heißt, es gilt

 

Diese Abstandsfunktion macht   zu einem metrischen Raum.

Korollare

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  • Aus dem Satz von Hopf-Rinow folgt, dass alle kompakten, zusammenhängenden Riemann’schen Mannigfaltigkeiten (geodätisch) vollständig sind.
  • Für eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe folgt, dass die Exponentialabbildung   surjektiv ist.
  • Alle geschlossenen Untermannigfaltigkeiten einer vollständigen, zusammenhängenden Riemann’schen Mannigfaltigkeit sind vollständig

Beispiele

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  • Die Sphäre  , der euklidische Raum   und der hyperbolische Raum   sind vollständig.
  • Der metrische Raum   mit der euklidischen Metrik induziert durch das Standardskalarprodukt ist nicht vollständig. Wählt man nämlich einen Punkt  , so gibt es zu dem Punkt   keine kürzeste Verbindung in  .

Literatur

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  • H. Hopf, W. Rinow: Über den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche. Commentarii Mathematici Helvetici. 3: 209–225, 1931.
  • J. Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.