In der Mathematik sind normale Familien vor allem in der Funktionentheorie und der komplexen Dynamik von Bedeutung.

Allgemeine Definition

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Seien   und   vollständige metrische Räume. Eine Menge   stetiger Funktionen

 

ist eine normale Familie, wenn jede Folge in   eine kompakt konvergente Teilfolge mit (dann automatisch stetiger) Grenzfunktion   enthält.

Es hat also jede Folge   in   eine Teilfolge   mit

 

für alle kompakten Teilmengen  .

Normale Familien in der Funktionentheorie

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In der Funktionentheorie wählt man im Allgemeinen als Definitionsbereich   ein Gebiet in   und als Zielraum   die Riemannsche Zahlenkugel, versehen mit der chordalen Metrik. Aus dem Weierstraßschen Konvergenzsatz folgt, dass der Grenzwert einer kompakt konvergenten Folge holomorpher Funktionen wieder holomorph oder konstant gleich   ist.

Der kleine Satz von Montel besagt, dass eine lokal gleichmäßig beschränkte Familie holomorpher Funktionen normal ist. Nach dem großen Satz von Montel ist eine Familie holomorpher Funktionen normal, wenn es   mit   gibt, so dass keine Funktion der Familie einen der Werte   oder   annimmt.

Literatur

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