Chordale Metrik

Metrik der riemannschen Zahlenkugel

Die chordale Metrik ist eine Metrik auf der riemannschen Zahlenkugel, die mithilfe der stereografischen Projektion definiert wird.

Definition

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Mit   wird die in den euklidischen Raum   eingebettete Sphäre bezeichnet. Sei nun   die Umkehrabbildung der stereografischen Projektion durch den Nordpol   mit  . Für zwei Punkte   auf der riemannschen Zahlenkugel ist die chordale Metrik   definiert durch

 ,

wobei   die euklidische Norm bezeichnet.

Für Punkte   ergibt sich explizit die Darstellung

 .

Für   und   kann die Darstellung

 

ermittelt werden und für   gilt

 .[1]

Eigenschaften

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Die riemannsche Zahlenkugel   ist bezüglich der chordalen Metrik ein kompakter metrischer Raum. Da in   für ein beliebiges   die chordale Metrik und die euklidische Metrik äquivalent sind, sind Eigenschaften wie Offenheit oder Abgeschlossenheit von beschränkten Teilmengen von   für die beiden Metriken identisch.

Alternative

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In vielen Lehrbüchern wird eine andere Darstellung der chordalen Metrik bevorzugt, welche sich von der obigen durch die Weglassung des Faktors   unterscheidet. Hier hat man also (bei Anwendung der komplexen Betragsfunktion):

  .

Der Unterschied besteht darin, dass man bei der Einbettung der Gaußschen Zahlenebene in die Riemannsche Zahlenkugel eine Kugel des   zugrunde legt, die den Durchmesser   hat und mit ihrem Südpol die  - -Ebene im Koordinatenursprung berührt. Ihr Nordpol hat dabei die Koordinaten  . Diese reellwertige Funktion   ist also eine beschränkte Funktion mit dem Maximum  . Man spricht in diesem Zusammenhang eher vom chordalen Abstand (englisch chordal distance).

Dass   hier die Eigenschaften eine Metrik besitzt, ergibt sich aus der Tatsache, dass sie aus dem euklidischen Abstand des   erwächst.[2] Dies lässt sich jedoch auch elementar nachweisen, wie der Mathematiker Shizuo Kakutani zeigte. Dabei geht es im Wesentlichen um den Nachweis der Gültigkeit der Dreiecksungleichung. Kakutani zeigte dies unter Anwendung elementarer Ungleichungen.[3]

Verallgemeinerung

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Da es auch eine stereografische Projektion   von der  -Sphäre in die Einpunktkompaktifizierung   von   gibt, kann die obige Definition verallgemeinert werden und man erhält dadurch, dass   bezüglich dieser Metrik auch ein kompakter metrischer Raum ist.

Literatur

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  • Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1965, S. 13 ff.
  • Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 120). 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 3-540-04135-4, S. 20.
  • Einar Hille: Analytic Function Theory. Volume 1. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York, N.Y. 1959, S. 42 ff.
  • Rolf Walter: Einführung in die Analysis 1. (= de Gruyter Lehrbuch). Walter de Gruyter, Berlin 2007, ISBN 978-3-11-019539-2, S. 354–355.

Einzelnachweise

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  1. Rolf Walter: Einführung in die Analysis 1. Walter de Gruyter 2007, ISBN 978-3-11-019539-2, S. 354–355.
  2. Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. 1968, S. 20
  3. D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 317