Master-Theorem

mathematischer Satz

Der Hauptsatz der Laufzeitfunktionen – oder oft auch aus dem Englischen als Master-Theorem entlehnt – ist ein Spezialfall des Akra-Bazzi-Theorems und bietet eine schnelle Lösung für die Frage, in welcher Laufzeitklasse eine gegebene rekursiv definierte Funktion liegt. Mit dem Master-Theorem kann allerdings nicht jede rekursiv definierte Funktion gelöst werden. Lässt sich keiner der drei möglichen Fälle des Master-Theorems auf die Funktion T anwenden, so muss man die Komplexitätsklasse der Funktion anderweitig berechnen.

Allgemeine Form

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Das Master-Theorem bietet unter bestimmten Bedingungen asymptotische Abschätzungen für Lösungen der Rekursionsgleichung

 

Hierbei steht   für die gesuchte Laufzeitfunktion, während   und   Konstanten sind. Ferner bezeichnet   eine von   unabhängige und nicht negative Funktion. Damit das Master-Theorem angewendet werden kann, müssen für die beiden Konstanten die Bedingungen   und   erfüllt sein.

Interpretation der Rekursion für  :

    = Anzahl der Unterprobleme in der Rekursion
  = Teil des Originalproblems, welches wiederum durch alle Unterprobleme repräsentiert wird
  = Kosten (Aufwand, Nebenkosten), die durch die Division des Problems und die Kombination der Teillösungen entstehen

Das Master-Theorem unterscheidet drei Fälle, wobei sich höchstens ein Fall auf die gegebene Rekursion anwenden lässt. Passt keiner der Fälle, so lässt sich das Master-Theorem nicht anwenden und man muss sich anderer Methoden bedienen.

Erster Fall Zweiter Fall Dritter Fall
Allgemein
Falls gilt:
  
für ein  
 
  für ein  
und ebenfalls für ein   mit   und alle hinreichend großen   gilt:
 
Dann folgt:      
Beispiel      
Aus der Formel ist folgendes abzulesen:
   ,  
   
   
   ,  
   
   
   ,  
   
   
1. Bedingung:   
für ein  
    für ein  
Werte einsetzen:      
Wähle  :   mit           mit    
2. Bedingung: (nur im 3. Fall)
 
Setze auch hier obige Werte ein:
  
Wähle c = ½:
   
Damit gilt für die Laufzeitfunktion:      

= Wahre Aussage)

Verallgemeinerung des zweiten Falls

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Nicht alle Rekurrenzgleichungen lassen sich mithilfe einer der drei Fällen des Mastertheorems lösen. So ist zum Beispiel die folgende Rekurrenzgleichung nicht direkt mit dem Mastertheorem lösbar.

 .

Auf den ersten Blick scheint es, dass der 3. Fall anzuwenden ist:

    ,   
Für den 3. Fall ist zu zeigen:  
Definition vom Ω-Kalkül: 
Angewandt auf  :
  Widerspruch!
Es existiert kein  , so dass der Limes ungleich Null ist. Also ist der 3. Fall nicht auf diese Rekursionsgleichung anwendbar!

Es gilt:  , falls  

Genau betrachtet stellt diese Formel eine Verallgemeinerung des zweiten Falls dar.

Lösung nach obiger Formel:

 
Da   die hinreichende Bedingung erfüllt, gilt nun:  
Siehe zu demselben Beispiel auch die Aufwandsabschätzung im Ο-Kalkül mit Hilfe der Substitutionsmethode.

Bemerkungen

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  • Angenommen, es ist folgende Rekurrenz gegeben, bei der   durch die Floor- oder Ceiling-Funktion angegeben werden:
z. B.:   
In diesem Fall kann man   oder auch   mit Hilfe der Form   abschätzen.
  • Ob man nun    (Logarithmus naturalis) schreibt, oder    (dekadischer Logarithmus) ist egal, da nach den Logarithmengesetzen gilt:
 

Allgemeinere Form

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In allgemeinerer Form gilt auch:

Definition

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Sei   die zu untersuchende Abbildung der Form

 ,

wobei  ,   und   mit  .

  wird hierfür implizit durch   oder   für   auf die reellen Zahlen fortgesetzt.

Dann gilt:

 

Beispiel

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Mergesort

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Als Beispiel für die Berechnung der Laufzeit eines rekursiven Algorithmus mit Hilfe des Master-Theorem betrachten wir das rekursive Sortierverfahren Mergesort.

Mergesort besitzt folgende Rekursionsgleichung:

 

Wähle  ,   und  .

Es folgt  

Nach dem Master-Theorem folgt, dass Mergesort folgende Laufzeit besitzt:

 

Literatur

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