Akra-Bazzi-Theorem

mathematischer Satz

In der Informatik dient das Akra-Bazzi-Theorem, oder auch die Akra-Bazzi-Methode, dazu, das asymptotische Verhalten von Lösungen mathematischer Rekursionsgleichungen zu bestimmen, die bei der asymptotischen Analyse insbesondere von Divide-and-Conquer-Algorithmen auftreten. Es wurde 1998 veröffentlicht und ist eine Verallgemeinerung des Master-Theorems, das nur auf diejenigen Divide-and-Conquer-Algorithmen angewandt werden kann, deren Teilprobleme gleiche Größe haben.

Mathematische Formulierung

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Gegeben sei die Rekursionsgleichung

      für  

für eine Funktion  , so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • Es sind genügend Basisfälle vorhanden, so dass die Gleichung eindeutig lösbar ist;
  •   und   sind für alle i konstant, mit   und  ;
  •  , wobei c eine Konstante ist und O das Landau-Symbol bezeichnet;
  •   für alle i;
  •   ist eine Konstante.

Dann gilt für das asymptotische Verhalten von T(x) die Abschätzung in der Theta-Notation

 

mit  , so dass  

Intuitiv ist   eine kleine Störung des Arguments von T. Wegen   und da   stets zwischen 0 und 1 ist, kann   dazu benutzt werden, die Gauß-Klammer ("Floor-Funktion") im Argument zu ignorieren. Ähnlich kann man für die Irrelevanz der Aufrundungsfunktion ("Ceiling-Funktion") für das asymptotische Verhalten von T argumentieren. Beispielsweise haben   und   gemäß dem Akra-Bazzi-Theorem dasselbe asymptotische Verhalten.

Beispiele

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Mergesort

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Für den Mergesort ist die erforderliche Anzahl T(n) von Vergleichen, die näherungsweise proportional zu dessen Laufzeit ist, gegeben durch die Rekursionsgleichung

 

mit dem Basisfall  . Somit lässt sich das Akra-Bazzi-Theorem anwenden, welches mit   und k=2,    , zunächst p=1 und damit das asymptotische Verhalten

 

ergibt.

Divide-and-Conquer mit ungleichen Teilproblemen

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Sei   definiert als 1 für   und   für  . Gemäß der Akra-Bazzi-Methode wird im ersten Schritt der Wert von p berechnet, so dass  . Das ergibt hier p = 2. Im zweiten Schritt wird das asymptotische Verhalten nach der Formel berechnet:

 

Bedeutung

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Das Akra-Bazzi-Theorem umfasst eine sehr weite Klasse von Rekursionsgleichungen und verallgemeinert wesentlich zuvor bekannte Sätze zur Bestimmung von asymptotischem Verhalten. Vorwiegend wird es für die Komplexitätsbetrachtung rekursiver Algorithmen verwendet, insbesondere von Divide-and-Conquer-Algorithmen.

  • Mohamad Akra, Louay Bazzi: On the solution of linear recurrence equations. Computational Optimization and Applications 10(2), 1998, pp. 195–210.