Inkompressible Fläche

topologisches Konzept

In der Mathematik sind inkompressible Flächen ein wichtiges Hilfsmittel der 3-dimensionalen Topologie. Durch Aufschneiden entlang inkompressibler Flächen können 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten in einfachere Stücke zerlegt werden.

Definition

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Sei   eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit (evtl. leerem) Rand und   eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit, d. h. eine eigentlich eingebettete Fläche.

Inkompressible Fläche

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Eine Kompressionsscheibe für   ist eine eingebettete Kreisscheibe

 ,

so dass   in   nicht homotop zu einer konstanten Abbildung ist.

Die Fläche   heißt inkompressibel wenn

  •   und es keine Kompressionsscheibe für   gibt, oder
  •   und   ist in   nicht homotop zu einer konstanten Abbildung.

Rand-inkompressible Fläche

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Eine Rand-Kompressionsscheibe für   ist ein eingebettetes Tripel   mit  , so dass   nicht (rel.  ) isotop zu einer Einbettung mit Bild in   ist, deren Bild   und   jeweils in Kreisscheiben schneidet.

Die Fläche   heißt  -inkompressibel wenn es keine Rand-Kompressionsscheibe für   gibt.

Bei Mannigfaltigkeiten mit nichtleerem Rand wird häufig auch von inkompressiblen Flächen gesprochen, wenn Flächen gemeint sind, die im Sinne obiger Definitionen inkompressibel und rand-inkompressibel sind.

Fundamentalgruppe

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Wenn   eine inkompressible Fläche in   ist, dann ist der von der Inklusion   induzierte Homomorphismus der Fundamentalgruppen

 

injektiv. Für zweiseitige Flächen gilt auch die Umkehrung: eine zusammenhängende zweiseitige Fläche ist inkompressibel genau dann, wenn sie  -injektiv ist.

Existenz

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Wenn   eine kompakte irreduzible 3-Mannigfaltigkeit ist, dann gibt es zu jeder Homologieklasse

 

eine (orientierbare, evtl. unzusammenhängende) inkompressible und  -inkompressible Fläche  , so dass

 .

Hierbei bezeichnet   die Inklusion und   die Fundamentalklasse von  .

Satz von Haken

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Der Satz von Haken besagt, dass Aufschneiden einer 3-Mannigfaltigkeit entlang einer inkompressiblen, rand-inkompressiblen Fläche die Haken-Komplexität der 3-Mannigfaltigkeit verringert. Dies wird in der 3-dimensionalen Topologie häufig benutzt, um Beweise mittels Induktion nach der Haken-Komplexität zu führen.

Minimalflächen

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Nach einem Satz von Freedman, Hass und Scott ist jede inkompressible Fläche (in einer kompakten 3-Mannigfaltigkeit) isotop zu einer Minimalfläche vom Index 0.

Siehe auch

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Literatur

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  • William Jaco: Lectures on three-manifold topology. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 43. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1980. ISBN 0-8218-1693-4