In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, werden die Fundamentalgruppen geschlossener, orientierbarer Flächen als Flächengruppen (engl.: surface groups) bezeichnet.

Definition

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Sei   eine natürliche Zahl und   die geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht  .

Die Fundamentalgruppen   werden als Flächengruppen bezeichnet.

Präsentierung

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Die Flächengruppe   hat die Präsentierung

 .

Zum Beispiel ist  .

Hyperbolizität

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Mit Ausnahme von   sind alle Flächengruppen hyperbolisch. Max Dehn benutzte hyperbolische Geometrie, um das Wortproblem für Flächengruppen zu lösen.[2] Diese Arbeit gilt als Vorläufer für die in den 1980er Jahren von Gromow entwickelte Theorie der hyperbolischen Gruppen.

Flächengruppen sind – wie alle hyperbolischen Gruppen – automatische Gruppen, ihr Wortproblem lässt sich also in quadratischer Zeit lösen.

Darstellungen (Höhere Teichmüllertheorie)

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Die Theorie der Darstellungen von Flächengruppen   in Lie-Gruppen   wird als Höhere Teichmüller-Theorie bezeichnet. Klassische Teichmüller-Theorie ist der Spezialfall  , in diesem Fall vermittelt die Holonomie eine Bijektion zwischen dem Teichmüller-Raum und einer Zusammenhangskomponente von  .

Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät

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Im Folgenden bezeichnet   die Darstellungsvarietät, deren Zusammenhangskomponenten – für zusammenhängende Lie-Gruppen   – den Zusammenhangskomponenten von   entsprechen.

  • Für kompakte, zusammenhängende Gruppen   entsprechen die Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät den Elementen von  .[3]
  • Für   werden die Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät durch die Werte der Euler-Klasse   klassifiziert. Weil nach der Milnor-Wood-Ungleichung die Euler-Klasse genau die ganzzahligen Werte im Intervall   annehmen kann, hat die Darstellungsvarietät   Zusammenhangskomponenten. Eine Darstellung ist treu mit diskretem Bild genau dann, wenn  .[4]
  • Für   hat die Darstellungsvarietät   Zusammenhangskomponenten.
  • Für   oder   werden die Zusammenhangskomponenten von   durch die Werte der zweiten Stiefel-Whitney-Klasse   klassifiziert, die Darstellungsvarietät hat zwei Zusammenhangskomponenten.
  • Für   oder   ist die Darstellungsvarietät zusammenhängend.
  • Für   mit   hat die Darstellungsvarietät 3 Komponenten, falls   ungerade ist, und 6 Komponenten, falls   gerade ist. Der Beweis benutzt die Theorie der Higgs-Bündel.[5]

Literatur

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  • Heiner Zieschang, Elmar Vogt, Hans-Dieter Coldewey: Flächen und ebene diskontinuierliche Gruppen (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 122). Springer, Berlin u. a. 1970.

Einzelnachweise

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  1. Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-54963-6, S. 61.
  2. Max Dehn: Über unendliche diskontinuierliche Gruppen. In: Mathematische Annalen. Bd. 71, 1912, S. 116–144.
  3. Michael F. Atiyah, Raoul Bott: The Yang-Mills equations over Riemann surfaces. In: Philosophical Transactions of the Royal Society. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. Bd. 305, Nr. 1505, 1983, S. 523–615, doi:10.1098/rsta.1983.0017.
  4. William Mark Goldman : Discontinuous groups and the Euler class. University of California, Berkeley CA 1980 (Thesis (Ph. D. in Mathematics)).
  5. Nigel J. Hitchin: Lie Groups and Teichmüller space. In: Topology. Bd. 31, Nr. 3, 1992, 449–473, doi:10.1016/0040-9383(92)90044-I.