In der Mathematik ist die Ferrand-Invariante eine nach Jacqueline Ferrand benannte Invariante, die insbesondere bei der Untersuchung konformer Abbildungen von Nutzen ist.

Definition

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Die Ferrand-Invariante   von vier Punkten   in einer  -dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit   ist das Infimum der Kapazität   über alle disjunkten, kompakten Mengen mit   und  .

Dabei ist die Kapazität zweier disjunkter Mengen definiert als das Infimum von   über alle glatten Funktionen mit  .

Die Invariante ist unendlich, falls   oder   mit   oder   übereinstimmt.

Eigenschaften

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  • Die Invariante ist stets positiv:  .
  • Durch die auf dem Komplement von   definierte Metrik   wird auf   die übliche Topologie der Riemannschen Mannigfaltigkeit definiert.
  • Die Metrik geht gegen unendlich, wenn (für festes  )   gegen   oder (für festes  )   gegen   strebt.

Anwendungen

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  • Die Ferrand-Invariante ermöglicht Abschätzungen für den Stetigkeitsmodul konformer Abbildungen.
  • Mit Hilfe der Invariante bewies Ferrand, dass die Gruppe der drei Punkte y,z,t festlassenden konformen Abbildungen eine kompakte Gruppe ist.
  • Für eine divergierende Folge konformer Abbildungen   kann man zeigen, dass es höchstens zwei mögliche Grenzwerte von Folgen   gibt. Falls es tatsächlich zwei solche Grenzwerte   gibt, dann sendet eine Teilfolge der   das Komplement jeder Umgebung von   in beliebig kleine Umgebungen von  . Divergierende Folgen konformer Abbildungen zeigen also stets eine Nord-Süd-Dynamik.
  • Aus dem vorherigen Punkt folgt, dass Mannigfaltigkeiten mit divergierenden Folgen konformer Abbildungen einfach zusammenhängend und konform flach sein müssen, insbesondere also eine Sphäre sind. Mit diesem Argument bewies Ferrand die Lichnerowicz-Vermutung: eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit einer nichtkompakten Gruppe konformer Transformationen muss konform äquivalent zur Einheitssphäre sein.
  • Abschätzungen für die Ferrand-Invariante sind ein wichtiges Hilfsmittel in der Regularitätstheorie quasikonformer Abbildungen. Insbesondere wird sie verwendet für den Beweis der quasi-isometrischen Starrheit hyperbolischer Gebäude[1] und der Charakterisierung 2-dimensionaler Sphären bis auf Quasi-Symmetrie[2].

Literatur

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  • J. Ferrand: Transformations conformes et quasi-conformes des variétés riemanniennes compactes (démonstration de la conjecture de A. Lichnerowicz). Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. Mém. Coll. in–8deg (2) 39, no. 5, 44 pp. (1971).
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Einzelnachweise

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  1. M. Bourdon, H. Pajot: Quasi-conformal rigidity and hyperbolic geometry, in Rigidity in dynamics and geometry, Springer 2002
  2. M. Bonk, B. Kleiner: Quasisymmetric parametrizations of two-dimensional metric spheres. Invent. Math. 150, 127–183 (2002)