Stetigkeitsmodul

Mathematischer Ausdruck, welcher die Glattheit einer Funktion beschreibt

Der Stetigkeitsmodul ist ein Begriff aus dem Gebiet der mathematischen Analysis. Er wurde 1910 von Henri Lebesgue eingeführt und wird unter anderem in der Approximationstheorie angewandt, wo er dazu dient, einen Zusammenhang zwischen der Glattheit einer Funktion und der Approximationsgeschwindigkeit bei der Approximation durch Polynome herzustellen.

Definition

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Der Stetigkeitsmodul einer Funktion   ist die durch

 

definierte Funktion  .

Eigenschaften

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  • Der Stetigkeitsmodul ist monoton wachsend mit  .
  • Der Stetigkeitsmodul ist subadditiv:   für alle  .
  •   ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn   gilt.
  •   ist Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante   genau dann, wenn   für alle   gilt.
  •   ist Hölder-stetig mit Hölder-Exponent   genau dann, wenn es eine Konstante   mit   für alle   gibt.
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