Der Dunkl-Operator ist ein Differential-Differenz-Operator aus der Lie-Theorie, der einer endlichen Reflexionsgruppe eines Wurzelsystems zugeordnet ist. Er wurde 1989 von dem amerikanischen Mathematiker Charles F. Dunkl eingeführt.[1]

In der Stochastik untersucht man die Dunkl-Prozesse, die càdlàg Markow-Prozesse sind, deren infinitesimaler Generator eine Summe von Dunkl-Operatoren ist.

Dunkl-Operator

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Wir betrachten   mit euklidischem Skalarprodukt   und Skalarproduktnorm  .

Sei

  •   ein Wurzelsystem in  ,
  •   ein positives Teilsystem von  ,
  •   die Spiegelungsgruppe von  , d. h. die Gruppe, die durch die Spiegelungen  , definiert durch
 ,
erzeugt wird,
  •   eine Multiplizitätsfunktion, d. h. eine Funktion auf dem Wurzelsystem, die invariant unter   ist, d. h.  . Die Menge aller Multiplizitätsfunktionen bezeichnen wir mit  ,
  •   die Richtungsableitung bezüglich eines Vektores  .

Dunkl-Operator

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Sei nun   und   und  . Der zugehörige Dunkl-Operator   ist definiert durch[2]

 

Da noch weitere Dunkl-Operatoren existieren, nennt man diesen auch rationaler Dunkl-Operator.

Eigenschaften

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Für ein fixes   kommutiert der Dunkl-Operator, d. h für   und   gilt[3]

 

Dunkl-Prozess

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Für eine nichtnegative Multiplizitätsfunktion   und Standardvektoren   definieren wir nun die Dunkl-Operatoren   definiert für   durch

 

Der Dunkl-Laplace-Operator ist definiert als

 

Der Dunkl-Prozess ist der Markow-Prozess   mit dem infinitesimalen Generator[4]

 

Beispiel

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Für  , eine Multiplizitätsfunktion   und einen Dunkl-Prozess   lautet der infinitesimale Generator explizit

 

wobei   den gewöhnlichen Laplace-Operator auf   bezeichnet.[4]

Literatur

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  • Charles F. Dunkl: Differential-difference operators associated to reflection groups. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 311, Nr. 1, 1989, ISSN 0002-9947, S. 167–183, doi:10.2307/2001022.
  • Margit Rösler: Dunkl Operators: Theory and Applications. 2002, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0210366.

Dunkl-Prozesse

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  • Léonard Gallardo und Marc Yor: A chaotic representation property of the multidimensional Dunkl processes. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 34, Nr. 4, 2006, S. 1530–1549, doi:10.1214/009117906000000133.
  • Margit Rösler, Michael Voit: Markov Processes Related with Dunkl Operators. In: Advances in Applied Mathematics. Band 21, Nr. 4, 1998, S. 575–643, doi:10.1006/aama.1998.0609 (sciencedirect.com).

Einzelnachweise

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  1. Charles F. Dunkl: Differential-difference operators associated to reflection groups. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 311, Nr. 1, 1989, ISSN 0002-9947, S. 167–183, doi:10.2307/2001022.
  2. Margit Rösler: Dunkl Operators: Theory and Applications. 2002, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0210366.
  3. Charles F. Dunkl: Differential-difference operators associated to reflection groups. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 311, Nr. 1, 1989, ISSN 0002-9947, S. 171, doi:10.2307/2001022 (Theorem 1.9).
  4. a b Léonard Gallardo und Marc Yor: A chaotic representation property of the multidimensional Dunkl processes. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 34, Nr. 4, 2006, S. 1530–1549, doi:10.1214/009117906000000133.}