Generator (Markow-Prozesse)

Operator, der das stochastische Verhalten eines Prozesses erfasst

Der Erzeuger, Generator, infinitesimale Erzeuger oder infinitesimale Generator der Übergangshalbgruppe eines zeithomogenen Markow-Prozesses in stetiger Zeit ist ein Operator, welcher das stochastische Verhalten des Prozesses in infinitesimaler Zeit erfasst. Aufgrund der Markow-Eigenschaft und der zeitlichen Homogenität wird der Prozess unter bestimmten Voraussetzungen durch seinen infinitesimalen Erzeuger bestimmt bzw. generiert.

Allgemeiner Fall (nach Breiman)

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Gegeben sei ein zeithomogener Markow-Prozess   auf einem Zustandsraum   mit Übergangshalbgruppe  , das heißt für alle   ist   der entsprechende Übergangskern. Ferner sei   der Raum der beschränkten, borelmessbaren Funktionen  , dann kann jeder Übergangskern als Abbildung   aufgefasst werden.

Der infinitesimale Erzeuger   des Prozesses ist der Operator mit Definitionsbereich

 ,

der für alle   gegeben ist durch

 .

Ausführlich bedeutet das, dass für alle   gilt

 

mit

 .

Dabei bezeichnet   die Verteilung von   und   den Erwartungswert bedingt auf den Startwert  .

Spezialfall abzählbarer Zustandsraum

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Sei   ein zeitlich homogener Markow-Prozess mit kontinuierlicher Zeit, diskretem Zustandsraum   und Übergangshalbgruppe   mit Übergangsmatrix   für alle  .

Halbgruppe, Intensitätsmatrix, Q-Matrix

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Die Übergangsfunktion bzw. Übergangsmatrizen   bilden wegen der Chapman-Kolmogorow-Gleichungen eine Halbgruppe. Sie können wie oben aufgefasst werden als Abbildungen   wobei   den Raum der beschränkten, borelmessbaren Funktionen   bezeichnet.

  besitzt die Standard-Eigenschaft bzw. wird Standard-Übergangsfunktion genannt, wenn

 

bzw. kurz

 

mit der Einheitsmatrix  .

Besitzt   die Standard-Eigenschaft, so gilt für alle  :
Die Abbildungen   sind gleichmäßig stetig, für alle   differenzierbar und besitzen im Punkt 0 die rechtsseitige Ableitung

 

Kurz geschrieben, definiert man dies durch

 

  heißt Intensitätsmatrix oder einfach Q-Matrix.

Für alle   gilt  , und für alle   mit   gilt  .

Ein Zustand   heißt stabil, wenn  , sonst augenblicklich.

Die Übergangsfunktion   heißt stabil, wenn alle Zustände stabil sind; in diesem Fall sind alle Einträge der zugehörigen Intensitätsmatrix endlich.

Ein Zustand   heißt absorbierend, wenn   gilt, was genau dann der Fall ist, wenn   für alle   gilt.

Die Matrix   und der zugehörige Markov-Prozess werden als konservativ bezeichnet, wenn alle Zeilensummen von   null sind; dies ist genau dann der Fall, wenn   für alle   gilt.

Ist   konservativ, der Prozess stabil und divergiert die Folge der Sprungzeiten vor Erreichen eines absorbierenden Zustands fast sicher, so wird der Prozess als regulär bezeichnet.

Die Einträge   lassen sich wie folgt interpretieren:

  • Betrachtet man den zu   gehörigen Prozess, kann man mit Hilfe von   die Verweilzeit in einem Zustand   angeben. Diese ist exponentialverteilt mit Erwartungswert  , das heißt für   gilt  . Ein absorbierender Zustand hat dann entsprechend eine unendliche Verweilzeit.
  • Es gilt  , der Prozess ist also „lokal poisson“ und   gibt für kleine   die Rate an, mit der Prozess aus   in den Zustand   springt ( ).

Über diese Interpretation ist es in der Praxis oft leichter, eine geeignete Q-Matrix aus den Modellannahmen herzuleiten, als   direkt anzugeben, zum Beispiel bei M/M/1/∞-Systemen.

Gleichmäßig stetige Halbgruppe mit infinitesimalem Erzeuger

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Ist die Übergangsfunktion   stabil, so ist sie eine gleichmäßig stetige Halbgruppe deren infinitesimaler Erzeuger   ist.
Dann kann aus dem Verhalten in infinitesimaler Zeit   das langfristige Verhalten zurückgewonnen werden:

 ,

wobei   das Matrixexponential bezeichnet. Dies ist zum Beispiel der Fall für endliche Zustandsräume. Die stationäre Verteilung   von   lässt sich dann als Lösung des folgenden Gleichungssystems

 

bestimmen, wobei   als Zeilenvektor aufgefasst wird.

Generatoren von Feller-Prozessen

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Feller-Prozesse sind Markow-Prozesse, bei denen die Übergangswahrscheinlichkeiten   qua   einer stark stetigen Halbgruppe auf dem Raum   der stetigen, im Unendlichen verschwindenden Funktionen entsprechen. In diesem Fall kann der Generator der entsprechenden Halbgruppe

 

(definiert für alle   für die der Grenzwert bezüglich der Supremumsnorm existiert) betrachtet und der Satz von Hille-Yosida angewendet werden.

Dynkins charakteristischer Operator

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Der charakteristische Operator ist eine probabilistische Entsprechung des analytischen Generators  , mit dem oft leichter zu arbeiten ist.[1] Während in obiger Definition der Erwartungswert von   zu einem festen Zeitpunkt   gebildet wird (und anschließend   gegen 0 geht), wird hier der Erwartungswert von   an den unterschiedlichen (zufälligen) Zeitpunkten   gebildet, zu denen der Prozess einen festgelegten räumlichen Bereich  , zum Beispiel eine Kugel   um   mit Radius  , verlässt. Für nicht absorbierendes   setzt man

 

für absorbierendes   setzt man  . Für große Klasse von Feller-Prozessen gilt   für stetige, im Unendlichen verschwindende Funktionen   aufgrund von Dynkins Maximum-Prinzip.

Die Definition und der genannte Zusammenhang gehen auf eine Arbeit von E. B. Dynkin aus dem Jahr 1955 zurück.[2]

Literatur

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Wiktionary: Generator – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

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  1. Breiman, S. 377.
  2. E. B. Dynkin: Infinitesimal operators of Markov stochastic processes, Doklady Akademii Nauk Nr. 105, 1955, S. 206–209.