Die Delta-Methode ist in der asymptotischen Statistik eine Methode um die asymptotische Normalverteilung der Funktion einer asymptotisch normalverteilten Zufallsvariablen zu bestimmen.

Univariater Fall

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Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen   mit zwei endlichen Konstanten   und  

 

gilt, wobei   die Konvergenz in Verteilung bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion   mit  :

 [1]

Beispiel

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Es sei   eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert   und Varianz  . Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel   folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik

 .

Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von   interessiert, dann ist  ,  ,   und  . Die Delta-Methode ergibt dann

 [2]

Verallgemeinerung

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Für den Fall   und   gibt es eine Verallgemeinerung der Delta-Methode, die Delta-Methode zweiter Ordnung, die besagt, dass

 

wobei   eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.[3]

Multivariater Fall

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Für eine Folge  -dimensionaler Zufallsvektoren   gelte

 

mit   und einer positiv semidefiniten Matrix  . Für eine differenzierbare Funktion   bezeichne   den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion   an der Stelle  , der komponentenweise von Null verschieden ist. Dann gilt

 .[4]

Funktionale Delta-Methode

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Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen einer unendlich-dimensionalen Zufallsvariable (eines stochastischen Prozesses) durch die funktionale Delta-Methode.[5] Die funktionale Delta-Methode wird manchmal auch als Von-Mises-Methode bezeichnet.

Literatur

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  • Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, doi:10.1007/s13571-023-00305-9.
  • Gary W. Oehlert: A Note on the Delta Method. In: The American Statistician. Band 46, Nr. 1, 1992, S. 27–29, doi:10.1080/00031305.1992.10475842, JSTOR:2684406.
  • Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 3 Delta Method, S. 25–34.

Einzelnachweise

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  1. Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.13 Theorem (The Delta Method), S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
  2. Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.14 Example, S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
  3. Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, S. 4, doi:10.1007/s13571-023-00305-9.
  4. Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.15 Theorem (The Multivariate Delta Method), S. 79–80, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
  5. Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 20 Functional Delta Method, S. 291–303.