Asymptotisch normalverteilt

Folge reeller Zufalsvariablen

In der asymptotischen Statistik wird eine Folge reeller Zufallsvariablen als asymptotisch normalverteilt bezeichnet, wenn die zugehörige Folge der standardisierten Zufallsvariablen in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergiert.

Definition

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Für die asymptotische Normalverteilung einer Folge von Zufallsvariablen gibt es eine engere Definition, die nur auf Zufallsvariablen mit endlichen Varianzen anwendbar ist, und eine weitere Definition.

Enge Definition

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Eine Folge reeller Zufallsvariablen   mit den Erwartungswerten   und den positiven und endlichen Varianzen   für   heißt asymptotisch normalverteilt, falls

 [1]

Dabei bezeichnet   die Konvergenz in Verteilung für   und   bezeichnet die Standardnormalverteilung.

Weitere Definition

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Eine Folge von reellen Zufallsvariablen   heißt asymptotisch normalverteilt, wenn es Zahlenfolgen   und   gibt, wobei   für alle hinreichend großen Indizes   ist, so dass

 [2]

Eine Kurzschreibweise für diesen Sachverhalt ist „  ist  “.[2]

Eigenschaften

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  • Die Konvergenz der standardisierten Zufallsvariablen   in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung   ist in diesem Fall damit äquivalent, dass die Folge der Verteilungsfunktionen der standardisierten Zufallsvariablen an jeder Stelle gegen die Verteilungsfunktion   der Standardnormalverteilung konvergiert, es gilt also
 .
  • Eine Folge standardisierter Zufallsvariablen muss nicht notwendig in Verteilung gegen eine nichtdegenerierte Verteilung konvergieren. Dies zeigt das Beispiel der Zufallsvariablen   für   mit den durch
 
definierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Für diese gilt  , wobei   die Einpunktverteilung auf der Stelle 0 bezeichnet.
  • Der Satz über Typenkonvergenz garantiert, dass die weitere Definition nicht zu anderen Verteilungstypen als Grenzverteilung führen kann.
  • Während die enge Definition nur auf Folgen von Zufallsvariablen mit endlichen Varianzen anwendbar ist, umfasst die erweiterte Definition auch asymptotisch normalverteilte Folgen von Zufallsvariablen, die keine endlichen ersten und zweiten Momente besitzen. Sind beispielsweise die Verteilungsfunktionen von   für   durch
 
gegeben, wobei   die Verteilungsfunktion der Standard-Cauchy-Verteilung bezeichnet, dann ist für alle   der Erwartungswert   nicht definiert, es gilt aber   für alle   und damit  .

Anwendungen

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Dabei wird eine Schätzfunktion (ein Schätzer)   für einen Parameter   asymptotisch normal genannt, wenn für jeden Parameter   Folgen   und   existieren, so dass
 
gilt.
  • Im Fall der asymptotischen Normalalität wird für endliches, aber hinreichend großes   die Normalverteilung   als Approximation der Verteilung von   verwendet.
  • Häufig liegt der Spezialfall
 
mit   vor. Der Schätzer   für   ist dann konsistent und asymptotisch normalverteilt. Manchmal wird dieser Spezialfall zur Definition der asymptotischen Normalität eines Schätzer verwendet.[3] Dadurch ist dann eine engeres Konzept als in der oben angegebenen Definition festgelegt.
  • Für stochastisch unabhängige und identisch verteilte Bernoulli-Variablen   mit dem unbekannten Bernoulli-Parameter   ist der Standardschätzer für den Parameter   das arithmetische Mittel  . Der zentrale Grenzwertsatz der Statistik impliziert
 
Also ist   asymptotisch normalverteilt.
  • Für stochastisch unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen   mit dem Erwartungswert   und der Varianz   mit   ist das arithmetische Mittel   der Standardschätzer für den Parameter  . Der zentrale Grenzwertsatz der Statistik impliziert
 
sodass   asymptotisch normalverteilt ist.

Literatur

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  • P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, asymptotisch normalverteilt (asymptotically normally distributed), S. 14.
  • Robert J. Serfling: Approximation Theorems of Mathematical Statistics. Wiley, New York 1980, ISBN 0-471-21927-4, 1.5.5 Asymptotic Normality, S. 20–21.

Einzelnachweise

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  1. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, asymptotisch normalverteilt (asymptotically normally distributed), S. 14.
  2. a b Robert J. Serfling: Approximation Theorems of Mathematical Statistics. Wiley, New York 1980, ISBN 0-471-21927-4, 1.5.5 Asymptotic Normality, S. 20.
  3. Edward J. Dudewicz, Satya N. Mishra: Modern Mathematical Statistics (= Wiley Series in Probability and Statistics). Wiley, New York 1988, ISBN 978-0-471-81472-6, S. 370.