Chern-Weil-Theorie

Verfahren der Differentialgeometrie

In der Mathematik ist die Chern-Weil-Theorie ein allgemeines Verfahren, wie man die charakteristischen Klassen eines Prinzipalbündels aus seiner Krümmung berechnen kann. (Charakteristische Klassen sind Kohomologieklassen, die topologisch messen, wie getwistet ein Bündel ist.) Historisch entstand sie beim Beweis der höherdimensionalen Version des Satzes von Gauß-Bonnet, sie markierte den Beginn der “globalen Differentialgeometrie”, also der Wechselwirkung von Geometrie und Topologie. Die Theorie ist nach André Weil und S. S. Chern benannt.

Definition

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Sei   ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe  , sei   die Lie-Algebra von  . Chern-Weil-Theorie definiert einen Homomorphismus

 

vom Raum der  -invarianten Polynome auf   in die de-Rham-Kohomologie, den sogenannten Chern-Weil-Homomorphismus.

Jedem invarianten Polynom   wird die  -Form

 

zugeordnet, wobei   die Krümmungsform eines Zusammenhangs des Prinzipalbündels ist. Das heißt, für   ist

 .

  ist eine geschlossene Form und   ist dann per Definition die Kohomologieklasse dieser  -Form. Man kann zeigen, dass   nicht vom gewählten Zusammenhang abhängt.

Beispiele

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  • Sei  . Dann hat die Krümmungsform Werte in  . Die Entwicklung
 
definiert invariante Polynome
 ,
zum Beispiel ist   und  . Die Kohomologieklassen   sind die Chern-Klassen.

Universeller Chern-Weil-Homomorphismus

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Sei   eine Lie-Gruppe und   ihr klassifizierender Raum.   ist keine Mannigfaltigkeit, trotzdem lässt sich für das universelle  -Bündel   ein Chern-Weil-Homomorphismus   definieren.

Wenn   ein  -Prinzipalbündel und   seine klassifizierende Abbildung ist, dann ist  .

Siehe auch

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Literatur

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  • Appendix C: Connections, Curvature, and Characteristic Classes in: Milnor, John W.; Stasheff, James D.: Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp.
  • Chapter 5 in: Candel, Alberto; Conlon, Lawrence: Foliations. II. Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. xiv+545 pp. ISBN 0-8218-0881-8