In der Mathematik ist ein invariantes Polynom ein Polynom auf einem Vektorraum (siehe Symmetrische Algebra), welches unter der Wirkung einer Gruppe auf dem Vektorraum invariant ist, also

für alle erfüllt.

Invariante Polynome in der Linearen Algebra

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Sei   ein Körper und   der Vektorraum aller  -Matrizen über  . Die allgemeine lineare Gruppe   wirkt auf   durch Konjugation:

  für  .

Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen   mit   für alle  .

Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable  ) die Entwicklung

 

betrachten und erhält invariante Polynome  . (  ist die Spur und   die Determinante. Falls   algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein   das k-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von  .)

Invariante Polynome in der Theorie der Lie-Gruppen

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Sei   eine Lie-Gruppe und   ihre Lie-Algebra. Ein Polynom auf   ist ein Polynom (mit reellen Koeffizienten) in den Basisvektoren von  , siehe Symmetrische Algebra.

Die Gruppe   wirkt auf sich selbst durch Konjugation:   für alle  . Das Differential von   ist eine lineare Abbildung

 ,

dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung der Gruppe   auf dem Vektorraum  .

Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf  , welches invariant unter der adjungierten Wirkung ist, also

  für alle  

erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit   bezeichnet.

Beispiel G=GL(n,ℝ)

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In diesem Fall ist   und   für  . Für   sei   das homogene Polynom vom Grad  , dessen Wert auf   man als Koeffizienten vom Grad   im Polynom

 

erhält, für alle  . (Die Werte für die   legen ein Polynom bereits eindeutig fest.) Das Polynom   heißt das  -te Pontrjagin-Polynom.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den   erzeugt.

Beispiel G=O(n)

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Für   gilt  , woraus zunächst   und damit dann   für alle ungeraden   folgt.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den   erzeugt.

Beispiel G=SO(n)

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Falls   gerade ist, hat man zusätzlich noch die Pfaffsche Determinante, die für   mit   definiert ist durch

 .

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen   und – falls   gerade ist – der (auch als Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante   erzeugt.

Beispiel G=GL(n,ℂ)

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Für   sei   das komplex-wertige homogene Polynom vom Grad  , dessen Wert auf   man als Koeffizienten vom Grad   im Polynom

 

erhält, für alle  . Das Polynom   heißt das  -te Chern-Polynom. Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung   zusammen.

Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den   erzeugt.

Beispiel G=U(n)

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Für   ist   und damit   deshalb sind die Chern-Polynome auf   reell-wertig.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den   erzeugt.

Literatur

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  • Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu: Foundations of differential geometry. Vol. I, II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969.
  • Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. ISBN 3-540-08663-3