Bialgebra

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

umfasst als Spezialfälle

Eine Bialgebra hat sowohl die Struktur einer unitären, assoziativen Algebra als auch die dazu duale Struktur einer Koalgebra. Der wichtigste Spezialfall von Bialgebren sind Hopf-Algebren, zu denen auch die Quantengruppen gehören.

Definition

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Sei   ein Körper und   sowohl unitäre assoziative Algebra über   als auch Koalgebra über  . Dabei bezeichne   die Multiplikation,   die Eins (Einbettung des Körpers in die Algebra),   die Komultiplikation und   die Koeins.

  heißt Bialgebra über   wenn die folgenden äquivalenten Kompatibilitätsbedingungen erfüllt sind.

  • Die Komultiplikation   und die Koeins   sind Algebrahomomorphismen.
  • Die Multiplikation   und die Eins   sind Koalgebrahomomorphismen.
  • Die folgenden Diagramme kommutieren
 
 
 
 

Dabei ist   die „Flip“-Abbildung, also der kanonische Isomorphismus der Tensorprodukte   und   angewandt auf  .

Die Bialgebren bilden zusammen mit den Abbildungen, die sowohl Algebra- als auch Koalgebrahomomorphismen sind, eine Kategorie.

Verallgemeinerung

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Algebren und Koalgebren können in beliebigen monoidalen Kategorien betrachtet werden. Für Kompatibilitätsbedingungen ist es jedoch notwendig, dass auch das Tensorprodukt einer (Ko-)Algebra auf natürliche Weise wieder eine (Ko-)Algebra ist, dies bedingt die Existenz einer Zopfung.

Literatur

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  • Christian Kassel: Quantum Groups (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag, ISBN 0-387-94370-6