Eine Koalgebra ist ein Vektorraum, der die zu einer Algebra duale Struktur besitzt. Das heißt anstelle einer Multiplikation, die zwei Elemente auf ihr Produkt abbildet, gibt es eine Komultiplikation, die ein Element auf ein Tensorprodukt abbildet, und anstelle eines neutralen Elements, das die Einbettung des Grundkörpers in die Algebra ermöglicht, gibt es eine Abbildung aus der Koalgebra in den Grundkörper, die Koeins genannt wird.

Definition

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Eine Koalgebra über einem Körper   ist ein  -Vektorraum   mit Vektorraumhomomorphismen  , genannt Komultiplikation, Koprodukt oder auch Diagonale, und  , genannt Koeins, so dass

  (Koassoziativität)
  (Koeins)

Ein Koalgebrahomomorphismus zwischen zwei Koalgebren C und D ist ein Vektorraumhomomorphismus   mit

  und  .

Beispiel

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Sei   die kanonische Basis von  . Man kann auf   eine Koalgebra-Struktur mittels

 

und

 

definieren.

  ist koassoziativ, da

 ,

und   ist Koeins, da

 .

Die Elemente von   sind Tensoren zweiter Stufe und können daher als Matrizen dargestellt werden. Die Komultiplikation ist dann

 .

Dualität

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Die Multiplikation   einer (unitären assoziativen) Algebra   ist bilinear, und aufgrund der Universellen Eigenschaft des Tensorprodukts kann sie als Abbildung von   nach   aufgefasst werden. Die Multiplikation ist genau dann assoziativ, wenn das folgende Diagramm kommutiert.

 

Eine Algebra   besitzt genau dann ein neutrales Element, wenn es einen Vektorraumhomomorphismus   gibt, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

 

In diesem Fall gilt  .

Eine Koalgebra   ist eine Algebra in der zu den Vektorräumen   dualen Kategorie  . Das heißt, anstelle der Multiplikation gibt es eine Abbildung  , so dass das folgende duale Diagramm kommutiert:

 

Und anstelle eines neutralen Elements gibt es eine Abbildung  , so dass das folgende duale Diagramm kommutiert:

 

Sweedlernotation

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Über das Koprodukt   eines Elements   ist im Allgemeinen nur bekannt, dass es in   liegt und sich folglich als

 

darstellen lässt. In der Sweedler-Notation (nach Moss Sweedler) wird dies abgekürzt, indem man symbolisch

 

schreibt. In summenloser Sweedler-Notation verzichtet man sogar auf das Summensymbol und schreibt

 

Es ist dabei wichtig zu beachten, dass diese Schreibweise nach wie vor eine Summe bezeichnet. Die Symbole   und   sind für sich allein bedeutungslos und stehen nicht für bestimmte Elemente aus  , denn die Darstellung von   ist nicht eindeutig. Bei Rechnungen in der Sweedlernotation liest man die   am besten als „geeignete und für diese Rechnung fest gewählte“ Elemente.

Diese Schreibweise ermöglicht es, die Komposition von   mit anderen Funktionen als

 

zu schreiben.

In summenloser Sweedler-Notation ist   genau dann Koeins, wenn

 .

Das Koprodukt   ist genau dann koassoziativ, wenn

 .

Dieses Element wird in Sweedler-Notation symbolisch als

 

und summenlos als

 

geschrieben.

Durch erneutes Anwenden von   entstehen längere Tensorprodukte, die analog geschrieben werden. Dabei muss man die „Indizes“ der hinteren Elemente gegebenenfalls erhöhen:

 .

Durch Anwenden von   verkürzen sich die Tensorprodukte, die „Indizes“ der hinteren Elemente werden entsprechend angepasst:

 .

Literatur

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  • Christian Kassel: Quantum Groups In: Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, ISBN 0-387-94370-6.