Satz über Typenkonvergenz

Satz der mathematischen Statistik aus dem Teilgebiet der asymptotischen Statistik

Der Satz über Typenkonvergenz ist ein Satz der mathematischen Statistik aus dem Teilgebiet der asymptotischen Statistik. Er besagt, dass bei der Konvergenz geeignet normierter Folgen von Zufallsvariablen gegen eine Grenzverteilung die Wahl alternativer Normierungskonstanten zwar die Grenzverteilung ändern kann, dass aber alle Grenzverteilungen, die sich durch unterschiedliche Normierungen ergeben können, denselben Verteilungstyp haben.

Formulierung und Aussage des Satzes

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Im Folgenden ist mit Verteilungsfunktion eine eindimensionale Verteilungsfunktion gemeint. Für eine Verteilungsfunktion   bezeichnet   die Menge aller Punkte in  , an denen   stetig ist. Eine Verteilungsfunktion heißt degeneriert, falls die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Einpunktverteilung ist. Wenn die Zufallsvariable   die Verteilungsfunktion   hat, dann hat die transformierte Zufallsvariable   mit   und   die Verteilungsfunktion  .

Aussage

  und   seien nicht-degenerierte Verteilungsfunktionen. Für   seien   Verteilungsfunktionen sowie   und  . Gilt

 

und

 

so sind   und   vom selben Verteilungstyp, d. h. es gibt Zahlen  ,   mit  ,   und

 

Anwendungen

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Die Bedeutung des Satzes besteht darin, dass in der asymptotischen Statistik häufig der Fall auftritt, dass eine Folge reellwertiger Zufallsvariablen   zwar in Verteilung nicht konvergiert oder nur gegen eine Zufallsvariable mit degenerierter Verteilung konvergiert, dass aber bei geeigneter Normierung mit Zahlen   und   für   die Folge der Zufallsvariablen

 

für   in Verteilung gegen eine Zufallsvariable mit nicht-degenerierter Verteilungsfunktion konvergiert. Die Konvergenz in Verteilung ist für eine Folge von Zufallsvariablen dabei durch die im Satz verwendete Konvergenz der Verteilungsfunktionen an allen Stetigkeitsstellen der Grenzverteilung definiert. Die Frage, ob durch die Wahl unterschiedlicher Folgen von Normierungskonstanten wesentlich unterschiedliche Grenzverteilungen erreicht werden können, wird durch den Satz von der Typenkonvergenz insofern beantwortet, dass alle auftretenden nicht-degenerierten Grenzverteilungen denselben Verteilungstyp haben.

Zwei wichtige Anwendungsgebiete sind

Beispiele

  sei eine Folge normalverteilter Zufallsvariablen und   sei eine standardnormalverteilte Zufallsvariable.

  • Für   konvergiert   in Verteilung gegen  .
  • Für   konvergiert   in Verteilung gegen  .
  • Für   konvergiert   in Verteilung gegen  .
  • Für   konvergiert   in Verteilung gegen  .

Die Folge   konvergiert in den ersten drei Fällen nicht gegen eine Grenzverteilung und konvergiert im vierten Fall gegen eine Einpunktverteilung an der Stelle Null. In allen vier Fällen können durch eine andere Wahl von Konstanten nur Normalverteilungen als nicht-degenerierte Grenzverteilungen erreicht werden, wobei alle Normalverteilungen zum selben Verteilungstyp gehören.

Anmerkungen

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Der Begriff Verteilungstyp wird hier nicht im umgangssprachlichen Sinn oder als Typ von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, der durch eine parametrische Verteilungsfamilie charakterisiert ist, sondern als Fachbegriff für eine Verteilungsfamilie verwendet, deren Verteilungen durch lineare Transformationen zusammenhängen.

Literatur

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