Ein zufälliges Maß ist in der Maß- und der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Zufallsvariable, deren Werte Maße sind. Zufällige geometrische Strukturen, wie sie in der stochastischen Geometrie untersucht werden, können durch zufällige Maße modelliert werden. So kann ein Punktprozess, wie beispielsweise ein allgemeiner Poisson-Prozess, als zufälliges Zählmaß angesehen werden, das einer Menge die zufällige Anzahl der in ihr enthaltenen Punkte zuordnet. In der Statistik treten zufällige Maße beispielsweise als empirische Verteilungen auf. Ebenso lassen sich viele Punktprozesse wie Binomial-Prozesse, Poisson-Prozesse und Cox-Prozesse als zufällige Maße definieren.

Definition

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Es seien   der  -dimensionale euklidische Raum mit der borelschen σ-Algebra und   die Menge aller lokal endlichen Maße (Borel-Maße)   auf  . Weiter bezeichne   die kleinste σ-Algebra auf  , so dass alle Abbildungen  , wobei   eine beschränkte Borelmenge ist, messbar sind. Ein zufälliges Maß auf   ist dann eine Zufallsvariable   auf einem Wahrscheinlichkeitsraum   mit Werten im Messraum  .

Ein zufälliges Maß ordnet also jedem Zufallsergebnis   ein Maß   auf   zu, das auf beschränkten messbaren Mengen endliche Werte annimmt. Für jede beliebige Borelmenge   ist

 

eine nichtnegative Zufallsvariable, genannt das zufällige Maß der Menge  .

Bezeichnet   den Erwartungswert von  , dann ist durch die Abbildung

 

ein Maß auf   gegeben, das Intensitätsmaß von   genannt wird. Wenn   wieder lokal-endlich ist, heißt   integrierbar.

Beispiel

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Eine zufällige Anordnung von Punkten in der Ebene oder im Raum kann als zufälliges Maß modelliert werden: Sind   die Positionen von   Punkten, aufgefasst als  -wertige Zufallsvariable, dann wird durch

 

ein zufälliges Maß auf   definiert. Hierbei bezeichnet   das Diracmaß an der Stelle  . Für eine Borelmenge   ist dann   die (zufällige) Anzahl der Punkte, die in der Menge   liegen.

Literatur

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  • Olav Kallenberg: Random measures 4th edition, (revised printing of the 3rd edition 1983). Akademie-Verlag u. a., Berlin u. a. 1986, ISBN 0-12-394960-2.
  • Dietrich Stoyan, Wilfrid S. Kendall, Joseph Mecke: Stochastic Geometry and Its Applications (= Wiley Series in Probability and Statistics). 2. Auflage. Wiley, Chichester u. a. 1995, ISBN 0-471-95099-8, Kap. 7.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 24.