Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie zählt die Wachstumsrate einer Gruppe grob die Anzahl der Elemente, die sich als Produkte der Länge aus gegebenen Erzeugern darstellen lassen.

Wachstum von Graphen

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Es sei   ein Graph und   ein fest gewählter Knoten.

Für   sei   die Anzahl der Knoten  , für die es einen Weg aus maximal   Kanten von   nach   gibt.

Die Wachstumsrate des Graphen ist per Definition die Wachstumsrate der Folge  .

Wachstum von Gruppen

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Es sei   eine endlich erzeugte Gruppe und   ein endliches Erzeugendensystem. Als Wachstumsrate der Gruppe   bezeichnet man die Wachstumsrate des Cayleygraphen für  .

Genauer bedeutet dies das Folgende: Ist  , so lässt sich jedes Gruppenelement   als Wort   schreiben, wobei  , die Indizes   Elemente von   und die Exponenten   beliebige ganze Zahlen sind. Für jedes   sei   die Anzahl der Elemente von  , die eine solche Schreibung mit   besitzen. Die Wachstumsrate der Gruppe   ist dann gerade die Wachstumsrate der Folge  .

Unterschiedliche Erzeugendensysteme geben zwar unterschiedliche Cayleygraphen und damit auch unterschiedliche Folgen  , jedoch sind die Cayleygraphen unterschiedlicher endlicher Erzeugendensysteme zueinander bilipschitz-äquivalent, womit die Wachstumsrate der Folge nur von der Gruppe   und nicht vom gewählten Erzeugendensystem abhängt.

Beispiele

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Literatur

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  • J. Milnor: Growth of finitely generated solvable groups. J. Differential Geometry 2 (1968), 447–449.
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Einzelnachweise

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  1. M. Gromow: Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 53 (1981), 53–73.
  2. B. Kleiner: A new proof of Gromov's theorem on groups of polynomial growth. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), no. 3, 815–829.
  3. R. I. Grigortschuk: Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means. (Russisch) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48 (1984), no. 5, 939–985.
  4. J. Milnor: A note on curvature and fundamental group. J. Differential Geometry 2 (1968), 1–7.