Villarceau-Kreise sind in der Geometrie Kreispaare auf einem Torus, die durch den Schnitt mit geeigneten Ebenen entstehen. Sie sind benannt nach dem französischen Astronomen Yvon Villarceau. Dass auf einem Torus zwei Scharen von Kreisen liegen, ist offensichtlich: 1) Eine Schar (Meridiane) entsteht durch die Rotation eines Kreises bei der Erzeugung des Torus. 2) die zweite Schar (Parallel-Kreise) entsteht durch Schneiden des Torus mit Ebenen, die senkrecht zur Rotationsachse verlaufen. 3)+4) Zwei weitere weniger offensichtliche Scharen bestehen aus Villarceau-Kreisen. Villarceau-Kreise entstehen paarweise durch Schneiden des Torus mit doppeltberührenden Ebenen (s. Bild).

Torus: Villarceau-Kreise
Für das untere Bild wurde senkrecht auf die Schnittebene projiziert. Die Kreise treten hier unverzerrt auf.
Torus mit zwei Scharen von Villarceau-Kreisen
Animation zur Erzeugung von Villarceau-Kreisen

Beschreibung des Torus

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Ein Torus kann durch geeignete Einführung von Koordinaten immer so dargestellt werden, dass die Rotationsachse die z-Achse und der Mittelpunkt der Nullpunkt ist. Hat ein Meridian (Kreis) den Radius   und haben die Mittelpunkte der Meridiankreise den Abstand   von der Rotationsachse, so lässt sich der Torus durch die Gleichung

 

beschreiben.

Doppeltberührende Ebene des Torus

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Die Ebene  , die die x-Achse enthält und die beiden Meridiane in der y-z-Ebene berührt (s. Bild), berührt (aus Symmetriegründen) auch die Parallelkreise durch die beiden Toruspunkte und ist deshalb eine Tangentialebene des Torus. Da   den Torus in zwei Punkten berührt, heißt   eine doppeltberührende Tangentialebene. Für den Neigungswinkel   der Ebene (s. Bild) gilt  . Lässt man   um die z-Achse rotieren, entstehen alle doppeltberührenden Tangentialebenen des Torus.

Erzeugung der Villarceau-Kreise

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Behauptung
Der Schnitt der Ebene   (s. o.) mit dem Torus (s. o.) besteht aus den beiden Kreisen mit den Mittelpunkten   und dem Radius  .

Für den Beweis dreht man das Koordinatensystem um die x-Achse um den Winkel   und setzt anschließend die neue 3. Koordinate   Null.

Drehung   und   liefert
 .

Setzt man dies in die Torusgleichung ein, ergibt sich die Gleichung der Schnittkurve:

 

Löst man die Klammern auf und vergleicht die Auflösung mit der Auflösung der Gleichung

  •  ,

so erkennt man: Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Kurve, d. h. die Schnittfigur besteht aus den beiden Kreisen mit den Gleichungen

  und  .

Parameterdarstellungen der Villarceau-Kreise

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Mit den Ortsvektoren   der Mittelpunkte und der Orthonormalbasis   der Schnittebene   lassen sich die beiden Schnittkreise durch

 

beschreiben (siehe Ellipse). Die Gleichung der Schnittebene ist   oder, wegen    

Ein beliebiges Paar von Villsarceau-Kreisen erhält man durch Rotation der obigen Kreise um die z-Achse um einen Winkel  :

  •  
 

Die Schnittebene besitzt die Gleichung  

 
Villarceau-Kreise (magenta, grün) durch einen vorgegebenen Punkt (rot). Durch jeden Punkt gehen 4 Kreise.

Bestimmung der Villarceau-Kreise durch einen Toruspunkt

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Ist ein Toruspunkt   vorgegeben und man sucht die beiden Villarceau-Kreise durch  , so muss man die Schnittebene aus der obigen Schnittebenen-Schar bestimmen, die   enthält, d. h. man muss   so bestimmen, dass

 

Dieses Problem lässt sich durch die Substitution   in der  - -Ebene als das Schnittproblem der Gerade   mit dem Einheitskreis   auffassen und lösen (siehe Schnittpunkt einer Gerade mit einem Kreis). Im Allgemeinen erhält man so zwei Ebenen und insgesamt vier Villarceau-Kreise, von denen nur zwei den vorgegebenen Punkt   enthalten. Im Sonderfall, dass die beiden Ebenen gleich sind, ist   einer der beiden Schnittpunkte der beiden Villarceau-Kreise.

Siehe auch

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Literatur

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