In der Mathematik ist die Vermutung von Falconer eine 1985 von Kenneth J. Falconer aufgestellte Vermutung, die beantworten soll, wie groß die Dimension einer Menge sein muss, damit die Menge ihrer Abstände positives Volumen hat. Sie verallgemeinert den Satz von Steinhaus.

Die Vermutung von Falconer besagt, dass für eine kompakte Menge der Hausdorff-Dimension größer als die Menge

positives Lebesgue-Maß hat.

Optimalität

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Sei  . Dann ist  , während die Anzahl   durch die Anzahl der Werte von   mit   beschränkt ist, also durch  . Es folgt  .

Sei   und   für   die  -Umgebung von  , sowie  . Die Hausdorff-Dimension von   ist  , andererseits ist das Lebesgue-Maß von   höchstens  , kann für   also Null werden.

Der Exponent   in der Vermutung von Falconer lässt sich also nicht verbessern.

Literatur

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  • Alex Iosevich: "What is ... Falconer's conjecture?", Notices of the American Mathematical Society, 66 (4): 552–555, 2019