Vergleichbarkeitssatz

mathematischer Satz

In der elementaren Mengenlehre gibt es zwei wichtige Vergleichbarkeitssätze:

  1. Für beliebige Mengen , gilt stets: oder . wobei eine Kurzschreibweise für die Aussage, es gibt eine injektive Abbildung von nach , ist.
    (Anmerkung: gelten beide Beziehungen, so sind die Mengen nach dem Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem gleichmächtig.)
  2. Wann immer und Wohlordnungen sind, ist eine dieser Wohlordnungen zu einem Anfangsabschnitt der anderen isomorph.

Beweisskizze des Satzes für wohlgeordnete Mengen

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Für beliebige Wohlordnungen   und   definieren wir eine Relation   so:

 

Man kann leicht zeigen, dass   eine partielle injektive Funktion ist (rechtseindeutig und linkseindeutig), dass Definitionsbereich und Wertebereich Anfangsabschnitte von   bzw.   sind und dass diese Funktion streng monoton ist.

Die Annahme, dass sowohl Definitions- und Wertebereich echte Anfangsabschnitte von   bzw.   sind, führt auf einen Widerspruch; denn dann müsste es   und   geben, sodass   eine Ordnungsisomorphie von   nach   wäre, also wäre nach Definition auch   in  .

Daher ist entweder der Definitions- oder der Wertebereich von   ganz   bzw. ganz  . Damit ist dann   entweder eine Isomorphie zwischen   und einem Anfangsabschnitt von  , oder zwischen einem Anfangsabschnitt von   und  .

Beweisskizze des Satzes für beliebige Mengen

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Seien   und   beliebige Mengen. Nach dem Wohlordnungssatz gibt es auf   und   Wohlordnungen   und  . Nach dem Vergleichbarkeitssatz für Wohlordnungen existiert ein Isomorphismus   zwischen der einen Wohlordnung und einem Anfangsabschnitt der anderen. Diese Abbildung ist nun eine injektive Funktion von der einen in die andere Menge.

Die Notwendigkeit des Auswahlaxioms

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Der Vergleichbarkeitssatz für wohlgeordnete Mengen kann ohne Verwendung des Auswahlaxioms bewiesen werden.

Aus dem Vergleichbarkeitssatz für beliebige Mengen folgt hingegen der Wohlordnungssatz, somit auch das Auswahlaxiom: Zu jeder Menge   kann man nämlich nach dem Satz von Hartogs eine Ordinalzahl   finden, die nicht in   injektiv eingebettet werden kann. Nach dem Vergleichbarkeitssatz muss es eine injektive Abbildung von   nach   geben; so eine Abbildung induziert eine Wohlordnung auf  .

Der Vergleichbarkeitssatz für beliebige Mengen ist also (über der Theorie ZF) zum Auswahlaxiom äquivalent.

Geschichte

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Der Satz wurde lange Zeit von Georg Cantor vermutet, konnte aber erst 1904 durch Ernst Zermelo bewiesen werden.

Literatur

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