Verallgemeinertes Eigenwertproblem

Das verallgemeinerte Eigenwertproblem ist eine Problemstellung der linearen Algebra.

Definition

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Das Problem, zu vorgegebenen Matrizen   gewisse Zahlen   und Vektoren   mit   zu bestimmen, sodass

 

gilt, wird in Abgrenzung zum Eigenwertproblem als verallgemeinertes Eigenwertproblem bezeichnet.

Lösungsverfahren

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Ist   regulär, so lässt sich das verallgemeinerte Eigenwertproblem auf das gewöhnliche Eigenwertproblem

 

zurückführen. Dieser Lösungsansatz ist aber i. A. nur von theoretischer Bedeutung, da die Berechnung einer inversen Matrix numerisch oft nicht möglich oder sehr unpraktisch ist. Oftmals lassen sich aus der Aufgabenstellung schon gewisse Informationen über die betrachteten Matrizen sammeln, welche die Berechnung dann vereinfachen können. Sind z. B.   symmetrisch und   außerdem positiv definit, so lässt sich die Berechnung wesentlich vereinfachen: Die Matrix   lässt sich mittels der Cholesky-Zerlegung in   zerlegen. Dann ist   ähnlich zu einer Matrix  . Die Inverse von   lässt sich sehr effizient berechnen, da   eine Dreiecksmatrix ist. Bestimmt man nun die Eigenwerte von  , so sind dies auch die Eigenwerte von  .

Für beliebige Matrizen   kann auch der QZ-Algorithmus genutzt werden.

Beispiel

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Betrachte das verallgemeinerte Eigenwertproblem

 .

Naiver Ansatz

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Die Berechnung der Inversen von   ergibt

 

und damit

 .

Die Eigenwerte dieser Matrix sind 20,7703 sowie -2 und - 0,7703.

Mittels der Cholesky-Zerlegung

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  sind symmetrisch und   außerdem positiv definit. Die Cholesky-Zerlegung liefert die Matrix

 .

Dann ist  .

Die Eigenwerte dieser Matrix sind wie zu erwarten mit den oben berechneten Eigenwerten identisch.

Literatur

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