In der Unterhaltungsmathematik ist eine Vampirzahl (oder echte Vampirzahl, englisch vampire number) eine zusammengesetzte natürliche Zahl mit einer geraden Anzahl an Ziffern, welche in zwei natürliche Zahlen faktorisiert werden kann (nicht unbedingt primfaktorisiert), die beide genau halb so viele Stellen wie die ursprüngliche Zahl haben. Die beiden Faktoren müssen gemeinsam alle Ziffern der ursprünglichen Zahl in beliebiger Reihenfolge enthalten und dürfen nicht beide gleichzeitig mit Nullen aufhören. Die beiden Faktoren nennt man Reißzähne von (englisch fangs of ).

Clifford Pickover, der Namensgeber dieser Zahlen

Mit anderen Worten:

Sei eine natürliche Zahl mit Stellen, also .
Dann ist eine Vampir-Zahl genau dann, wenn gilt:
  • Es gibt zwei natürliche Zahlen und mit jeweils genau Stellen, also und
  • Die Einerstellen und von und dürfen nicht gleichzeitig Null sein.
  • Die Aneinanderreihung (Konkatenation) der insgesamt Stellen der Teiler und , also ist eine Permutation der Stellen von .

Vampirzahlen wurden erstmals im Jahr 1994 von Clifford A. Pickover in einem Beitrag in der Usenet-Gruppe sci.math beschrieben, und der Artikel, den er später schrieb, wurde in Kapitel 30 seines Buches Keys to Infinity veröffentlicht.[1] Inspiriert wurde die Benennung durch den Film Interview mit einem Vampir, der im selben Jahr erschienen ist.[2]

Beispiele

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  • Die kleinste Vampirzahl ist  . Die beiden Zahlen   und   sind die Reißzähne von  . Die Stellen der beiden Faktoren aneinandergereiht ergibt   und die Permutation dieser Ziffern ergibt wieder die ursprüngliche Zahl  .
  • Die Zahl   ist keine Vampirzahl, weil sowohl   als auch   nicht die richtige Anzahl von Stellen haben (es müssten jeweils 3 sein).
  • Die Zahl   ist keine Vampirzahl, weil sowohl   als auch   gleichzeitig mit Nullen aufhören, was laut Definition der Vampirzahlen nicht erlaubt ist. Es gibt auch keine andere geeignete Zerlegung.
  • Die Zahl   ist keine Vampirzahl, obwohl sowohl die Ziffern von   als auch von   in der ursprünglichen Zahl   enthalten sind. Allerdings ergibt die Aneinanderreihung der beiden Zahlen die vierstellige Zahl  , aus der man durch Vertauschung der Ziffern aber niemals die Ausgangszahl   machen kann. Es gibt auch keine andere geeignete Zerlegung.
  • Die kleinsten Vampirzahlen lauten:
1260, 1395, 1435, 1530, 1827, 2187, 6880, 102510, 104260, 105210, 105264, 105750, 108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 120600, 123354, 124483, 125248, 125433, 125460, 125500, … (Folge A014575 in OEIS)
  • Es gibt viele bekannte Folgen von unendlich vielen Vampirzahlen, die einem Muster folgen, wie zum Beispiel:
 
 
 
 
In diesem Fall enden jeweils nicht beide Faktoren mit Nullen, somit sind diese Zerlegungen erlaubt (nicht erlaubt wäre zum Beispiel  ).
  • Eine Vampirzahl kann auch mehrere Reißzahnpaare haben. Die kleinste Vampirzahl mit 2 Reißzahnpaaren lautet:[3]
 
Die kleinsten Vampirzahlen mit 2 Reißzahnpaaren lauten:
125460, 11930170, 12054060, 12417993, 12600324, 12827650, 13002462, 22569480, 23287176, 26198073, 26373600, 26839800, 46847920, 61360780, … (Folge A048936 in OEIS)
  • Die kleinste Vampirzahl mit 3 Reißzahnpaaren lautet:[3]
 
Die kleinsten Vampirzahlen mit 3 Reißzahnpaaren lauten:
13078260, 107650322640, 113024597400, 119634515208, 134549287600, 135173486250, 138130447950, 146083269717,, … (Folge A048937 in OEIS)
  • Die kleinste Vampirzahl mit 4 Reißzahnpaaren lautet:[3]
 
  • Die kleinste Vampirzahl mit 5 Reißzahnpaaren lautet:[3]
 

Erzeugung von Vampirzahlen

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  • Man kann Klassen von Vampirzahlen mittels geeigneter Formeln erzeugen, wie zum Beispiel die folgende:[3][4]
Sei  
Sei  
Dann erhält man die Vampirzahl  
Beweis:
 
wobei   die Zahl   ergibt, allerdings mit umgedrehter Ziffernreihenfolge.  
Beispiel:
Sei  . Dann ist   und  . Somit erhalten wir  , eine Zahl, die tatsächlich aus denselben Ziffern besteht wie die beiden Ausgangszahlen   und  .

Vampirquadratzahlen

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Eine Vampirquadratzahl ist eine Vampirzahl, die gleichzeitig eine Quadratzahl ist. Ihre beiden Teiler (Reißzähne) sind also gleich.

Beispiele

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  • Die kleinste Vampirquadratzahl ist  .
  • Die folgende Liste gibt die kleinsten Zahlen an, die, mit sich selber multipliziert, Vampirquadratzahlen ergeben:
72576, 406512, 415278, 494462, 603297, 725760, 3279015, 4065120, 4152780, 4651328, 4915278, 4927203, 4944620, 4972826, 4974032, 4985523, 4989323, 5002245, 5016125, 6032970, 6214358, 6415002, 6524235, 7257600, 9883667, … (Folge A114258 in OEIS)

Pseudovampirzahlen

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Eine  -stellige Pseudovampirzahl (oder entstellte Vampirzahl) hat ähnliche Eigenschaften wie eine Vampirzahl mit folgenden Unterschieden:

  • Die Reißzähne von Pseudovampirzahlen müssen nicht genau   Stellen haben.
  • Pseudovampirzahlen dürfen auch eine ungerade Anzahl von Stellen haben.
  • Es sind mehr als zwei Reißzähne erlaubt.

Beispiele

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  • Die Zahl   ist eine Pseudovampirzahl.
  • Die Zahl   ist eine Pseudovampirzahl.
  • Die kleinsten Pseudovampirzahlen lauten:
126, 153, 688, 1206, 1255, 1260, 1395, 1435, 1503, 1530, 1827, 2187, 3159, 3784, 6880, 10251, 10255, 10426, 10521, 10525, 10575, 11259, 11439, 11844, 11848, 12006, 12060, 12384, 12505, 12546, 12550, 12595, 12600, 12762, 12768, 12798, 12843, 12955, 12964, … (Folge A020342 in OEIS)

Vampir-Primzahlen

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Eine Vampir-Primzahl oder prime Vampirzahl ist eine Vampirzahl, deren Reißzähne ihre Primfaktoren sind. Die Vampirzahl selbst kann nicht prim sein, da sie zwei Teiler (Reißzähne) benötigt. Sie muss eine Fastprimzahl zweiter Ordnung sein („Semiprimzahl“).

Vampir-Primzahlen wurden erstmals von Carlos Rivera im Jahr 2002 definiert.

Beispiele

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  • Die kleinste Vampir-Primzahl ist  , wobei die Reißzähne   und   beide Primzahlen sind.
  • Die kleinsten Vampir-Primzahlen lauten:
117067, 124483, 146137, 371893, 536539, 10349527, 10429753, 10687513, 11722657, 11823997, 12451927, 12484057, 12894547, 13042849, … (Folge A289911 in OEIS)
  • Die kleinste prime Vampirquadratzahl ist die folgende:[5]
 
Dabei ist   eine Primzahl.
  • Die größte bekannte Vampir-Primzahl ist gleichzeitig eine prime Vampirquadratzahl:[5]
 
Sie wurde im September 2007 von Jens K. Andersen entdeckt und hat 206610 Stellen. Die beiden primen Reißzähne sind   und haben jeweils 103305 Stellen.
  • Die folgende Tabelle gibt an, wie viele  -stellige Vampirzahlen mit   Reißzähnen es gibt.[6]
  Stellen etwa
jede .. Zahl
ist Vampirzahl
Vampirzahl mit mindestens   Reißzähnen gesamt Vampir-
Primzahlen
         
4 1286. 7 0 0 0 0 7 0
6 6081. 148 1 0 0 0 149 5
8 27881. 3228 14 1 0 0 3243 57
10 82984. 108454 172 0 0 0 108626 970
12 204980. 4390670 2998 13 0 0 4393681 26653
14 431813. 208423682 72630 140 3 1 208496456 923920

Doppelte Vampirzahlen

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Eine doppelte Vampirzahl ist eine Vampirzahl, die Teiler (also Reißzähne) hat, die ebenfalls Vampirzahlen sind.

Beispiel

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  • Die kleinste doppelte Vampirzahl lautet:[7]
 

Römische Vampirzahlen

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Eine römische Vampirzahl ist eine römische Zahl mit denselben Zeichen wie ihre Teiler.

Beispiel

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Vampirzahlen in anderen Zahlsystemen

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Obiger Abschnitt behandelte Vampirzahlen im Dezimalsystem, also zur Basis  .

Betrachtet man Vampir-Zahlen in anderen Positionssystemen ungleich  , so nennt man sie Vampirzahl zur Basis  .

Beispiele

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Die folgende Tabelle gibt ein paar Vampirzahlen zu verschiedensten Basen an:[8]

Basis   ausgewählte Vampirzahlen zu dieser Basis
2  ,  ,  ,  ,  
3  ,  ,  
4  ,  ,  
5  ,  
6  ,  
8  ,  ,  
12  ,  
16  ,  ,  
20  ,  ,  

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Clifford A. Pickover: Keys To Infinity. John Wiley & Sons, 1997, S. 332, abgerufen am 28. März 2022.
  2. Vampirzahlen – Vorsicht, Reißzähne! auf Spektrum.de
  3. a b c d e Eric W. Weisstein: Vampire Number. In: MathWorld (englisch).
  4. Roush, F.W.; Rogers, D. G.: Tame Vampires. Hrsg.: Math. Spectrum 30. 1997, S. 37–39.
  5. a b Puzzle 199. The Prime-Vampire numbers. Primepuzzles.net, abgerufen am 28. März 2022.
  6. Jens Kruse Andersen: Vampire numbers. primerecords.dk, abgerufen am 28. März 2022.
  7. Vampiri doppi (numeri). Abgerufen am 14. April 2022.
  8. Primzahlen (Abschnitt Vampir-Zahl). mathematikalpha.de, abgerufen am 28. März 2022.