Trennung der Veränderlichen

Verfahren aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen

Die Methode der Trennung der Veränderlichen, Trennung der Variablen, Separationsmethode oder Separation der Variablen ist ein Verfahren aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Mit ihr lassen sich separierbare Differentialgleichungen erster Ordnung lösen. Das sind Differentialgleichungen, bei denen die erste Ableitung ein Produkt aus einer nur von und einer nur von abhängigen Funktion ist: Der Begriff „Trennung der Veränderlichen“ geht auf Johann I Bernoulli zurück, der ihn 1694 in einem Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz verwendete.[4]

Proportionale Differentialgleichung Erster Ordnung lösen[1] durch Trennung der Veränderlichen.[2]
Lineare Differentialgleichung lösen[3] durch Trennung der Veränderlichen.[2]

Ein ähnliches Verfahren für bestimmte partielle Differentialgleichungen ist der Separationsansatz. Ein wichtiger Anwendungsfall in Koordinatensystemen, deren Koordinatenflächen konfokale Quadriken sind, ist die Laplace- und die Helmholtz-Gleichung, siehe dort.

Lösung des Anfangswertproblems

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Wir untersuchen das Anfangswertproblem

 

für stetige (reelle) Funktionen   und  . Falls  , so wird dieses Anfangswertproblem durch die konstante Funktion   gelöst. Diese Lösung muss unter den angegebenen Bedingungen nicht eindeutig sein.

Formulierung des Satzes

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Voraussetzungen

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  sei ein offenes Intervall,   und   eine stetige Funktion mit   für alle  . Dann gilt nach dem Zwischenwertsatz entweder   für alle  , oder   für alle  . Also ist die Funktion

 

streng monoton (das folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und dem Mittelwertsatz). Das heißt,   ist injektiv und es gibt die Umkehrfunktion  .
Ferner sei   ein offenes Intervall,   und   eine stetige Funktion. Dann ist die Funktion

 

wohldefiniert und differenzierbar. Wir wollen die Lösungsmenge   des Anfangswertproblems bestimmen:

 

Der Satz

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Unter den oben genannten Voraussetzungen gilt:

 

Das heißt, im Fall   hat das Anfangswertproblem genau eine Lösung – nämlich die Funktion   – und andernfalls ist   leer.

Sei  . Wir beweisen zuerst   und dann  :

1.

Sei  , dann gilt nach der Substitutions-Regel

 

für alle  , also  .

2.

Nun bleibt zu zeigen, dass für den Fall   das einzige Element von   – die Funktion   – eine Lösung des Anfangswertproblems ist, also   gilt: Nach der Kettenregel, der Umkehrregel und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt

 

für alle  . Natürlich ist  .

Bemerkung

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  und   seien Teilmengen der reellen Zahlen,   und   stetige Funktionen,   sei ein innerer Punkt von  ,   ein innerer Punkt von   und  . Dann gilt:

Ist    , dann gibt es wegen der Stetigkeit von   ein   umfassendes offenes Intervall   mit     für alle  . Weil   auf   stetig ist, ist   nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall und es gilt  . Deswegen gibt es ein   umfassendes offenes Intervall  , sodass die Abbildung

 

für alle   Werte in   hat. Das heißt, die Restriktionen   und   erfüllen die Bedingungen des oben formulierten Satzes.

Beispiel

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Gesucht sei die Lösung   des Anfangswertproblems

 .

Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen:

 .

Setze also

 .

Die Umkehrfunktion lautet

 .

Also ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch

 .

Differentiale als anschauliche Rechenhilfe

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Anschaulich besagt der Satz von der Trennung der Veränderlichen, dass das folgende Vorgehen erlaubt ist, d. h. zu richtigen Ergebnissen führt (obwohl die Differentiale   und   eigentlich nur Symbole sind, mit denen man streng genommen nicht rechnen kann):

  • Schreibe die Ableitung konsequent als  .
  • Bringe alle Terme, in denen ein   vorkommt – einschließlich des   – auf die rechte, und alle anderen – einschließlich des   – auf die linke Seite, unter Anwendung gewöhnlicher Bruchrechnung.
  • Es sollte dann links im Zähler ein   und rechts im Zähler ein   stehen.
  • Setze einfach vor beide Seiten ein Integralsymbol und integriere.
  • Löse die Gleichung gegebenenfalls nach   auf.
  • Ermittle die Integrationskonstante   mithilfe der Anfangsbedingung.

Die Rechnung für das obige Beispiel würde dann auf folgende Weise ablaufen:

 

mit  , also  .

Computerprogramm

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Die CAS-Software Xcas kann Trennung der Veränderlichen mit folgendem Befehl[5] durchführen: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Literatur

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  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 4. überarbeitete Auflage. Springer, 1990, ISBN 3-540-52017-1, S. 13–20.
  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis I. 9. Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-498-4, S. 316–333.
  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 6. aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2, S. 102–122 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
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Einzelnachweise

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  1. How do you solve this differential equation using the separation of variables dy/dx= (y-2)/x? Abgerufen am 27. Januar 2022 (englisch).
  2. a b Trennung der Variablen: Erklärung und Beispiel. Abgerufen am 18. September 2021.
  3. How do you solve this differential equation using the separation of variables dy/dx= (y-2)/x? Abgerufen am 27. Januar 2022 (englisch).
  4. Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 2. Auflage. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-12227-8, S. 128
  5. Bernard Parisse: Symbolic algebra and Mathematics with Xcas. Abgerufen am 23. August 2021.