Symplektische Gruppe

Begriff aus der Mathematik, im Überlappungsbereich der Gebiete lineare Algebra und Gruppentheorie

Die symplektische Gruppe (die Bezeichnung wurde von Hermann Weyl eingeführt[1] und geht auf das altgriechische Wort συμ-πλεκω für zusammenflechten zurück[2]) ist ein Begriff aus der Mathematik, im Überlappungsbereich der Gebiete lineare Algebra und Gruppentheorie. Sie ist die Menge der linearen Abbildungen, die eine symplektische Form, das heißt eine nichtausgeartete alternierende Bilinearform, invariant lassen, so wie die orthogonale Gruppe der längentreuen Abbildungen eine nichtausgeartete, symmetrische Bilinearform invariant lässt. Elemente der symplektischen Gruppe werden als symplektische Abbildungen bezeichnet. Die symplektische Gruppe in Dimensionen ist eine halbeinfache Gruppe zum Wurzelsystem Cn. Sie spielt beim Studium symplektischer Vektorräume eine wichtige Rolle.

Auch die Lie-Gruppe wird als (kompakte) symplektische Gruppe bezeichnet.

Die doppelte Überlagerung der symplektischen Gruppe wird als metaplektische Gruppe bezeichnet.

Definition

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Für jedes   und jeden Körper   mit Charakteristik ungleich zwei ist die symplektische Gruppe   eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe  

 

mit

 ,

wobei   die  -Einheitsmatrix und   die  -Nullmatrix bezeichnet.

Für   ist   eine Lie-Gruppe und die Lie-Algebra von   ist

 .

Endliche Gruppen

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Ist der Körper   endlich mit   Elementen, so schreibt man   an Stelle von  . Man erhält eine endliche Gruppe mit

 

Elementen. Das Zentrum dieser Gruppe besteht aus  , es hat daher zwei Elemente für ungerades   und ist trivial für gerades  .

Projektive symplektische Gruppen

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Die Faktorgruppen der symplektischen Gruppen nach ihrem Zentrum heißen projektive symplektische Gruppen und werden mit   bezeichnet. Im Falle eines endlichen Körpers mit   Elementen ist

 

und die Gruppen sind einfach mit Ausnahme von   und  .[3] Man erhält damit eine unendliche Serie einfacher Gruppen. Es handelt sich dabei um Gruppen vom Lie-Typ Cn und damit um eine der insgesamt 16 unendlichen Serien von Gruppen vom Lie-Typ. Daher wird   auch mit   bezeichnet.

Kompakte symplektische Gruppe

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Die kompakte symplektische Gruppe   ist die Gruppe der (invertierbaren) quaternionisch-linearen Abbildungen, die das auf dem n-dimensionalen quaternionischen Vektorraum   definierte Skalarprodukt

 

erhalten.

Diese Gruppe ist keine symplektische Gruppe im Sinne des vorhergehenden Abschnittes.   ist aber die kompakte reelle Form von  .

  ist eine  -dimensionale kompakte Lie-Gruppe und einfach zusammenhängend. Ihre Lie-Algebra ist

 ,

wobei   die quaternionisch-konjugiert transponierte Matrix bezeichnet.

Es gilt  .

Obwohl auch endliche Mengen kompakt sind, sind mit kompakten symplektischen Gruppen meistens die hier angegebenen Lie-Gruppen gemeint.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Hermann Weyl: The Classical Groups, Princeton 1939, Fußnote S. 165
  2. Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache, Bd. 2, S. 1000, Vieweg&Sohn, Braunschweig, 1914.
  3. Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type, John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Kapitel 1.3: The Symplectic Groups
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