Substitutionsprinzip (Statistik)

Methode in der Schätztheorie

Das Substitutionsprinzip ist eine Methode der Schätztheorie, eines Teilgebiets der mathematischen Statistik, zur Gewinnung von Schätzfunktionen. Wichtiger Spezialfall des Substitutionsprinzips ist die Momentenmethode. Ein durch das Substitutionsprinzip gewonnener Schätzer wird im Englischen als plug-in estimator oder substitution estimator bezeichnet.

Formulierung

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Gegeben sei eine Menge   von Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen. Seien die Zufallsvariablen   unabhängig identisch verteilt gemäß einem   und sei  .

Geschätzt werden soll ein Funktional

 

von der Form

 .

Dann ist

 

eine mögliche Schätzfunktion für  

Beispiel: Momentenmethode

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Ein Beispiel des Substitutionsprinzips ist die Momentenmethode. Soll das  -te Moment geschätzt werden, so ist das zu schätzende Funktional von der Form

 ,

es ist also  . Das Substitutionsprinzip liefert somit den Schätzer

 .

Dasselbe Vorgehen für eine zu schätzende Funktion   liefert somit die Momentenmethode.

Allgemeine Fassung

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Die obige Version lässt sich noch allgemeiner fassen, wodurch auch die Namensgebung klarer wird. Gegeben sei wieder eine Menge von Wahrscheinlichkeitsverteilungen   sowie   unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen gemäß einem   und sei  . Zu schätzen ist ein Funktional

 .

Anstatt das Funktional nun direkt zu schätzen, wird zuerst ein Schätzer

 

für   herangezogen. Hierbei ist   eine passend gewählte messbare Funktion. Nun wird das Wahrscheinlichkeitsmaß   durch die entsprechende Schätzung mittels   substituiert und die so gewonnene Funktion   als Schätzfunktion verwendet. Im obigen Spezialfall wird beispielsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den reellen Zahlen durch die empirische Verteilung substituiert.