Strikt singulärer Operator

Teilgebiet der mathematischen Analysis

Strikt singuläre Operatoren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis behandelt. Es handelt sich um singuläre, das heißt nicht-invertierbare, lineare Operatoren zwischen Banachräumen mit einer zusätzlichen, verschärfenden Eigenschaft, was zur Bezeichnung strikt singulär führt.

Definition

Bearbeiten

Ein stetiger, linearer Operator   zwischen Banachräumen   und   heißt strikt singulär, wenn es keinen unendlichdimensionalen Unterbanachraum   gibt, so dass die Einschränkung   ein Banachraum-Isomorphismus, das heißt ein linearer Homöomorphismus, ist.[1][2]

Auf endlichdimensionalen Räumen ist demnach jeder Operator strikt singulär, denn die definierende Bedingung ist leer, da es überhaupt keine unendlichdimensionalen Unterräume gibt. Hier sind sogar invertierbare Operatoren strikt singulär. Dieser Begriff wird erst für unendlichdimensionale Räume sinnvoll. Auf solchen Räumen sind strikt singuläre Operatoren singulär, denn mit den Bezeichnungen der Definition muss die Bedingung ja auch für   gelten. Aber darüber hinaus muss die Bedingung für alle unendlichdimensionalen Unterbanachräume gelten, so dass es sich um eine Verschärfung der Singularität handelt.

Beispiele

Bearbeiten
  • Kompakte Operatoren sind strikt singulär, denn mit den Bezeichnungen obiger Definition ist jeder Operator   ebenfalls kompakt und kann daher kein Banachraum-Isomorphismus zwischen unendlichdimensionalen Banachräumen sein.
  • Schwach-kompakte Operatoren   sind im Allgemeinen nicht strikt singulär, ein einfaches Gegenbeispiel ist der identische Operator auf einem unendlichdimensionalen reflexiven Raum, der schwach-kompakt und sogar invertierbar ist. Hat aber   die Dunford-Pettis-Eigenschaft, so ist jeder schwach-kompakte Operator   strikt singulär.[3]
  • Ist  , so ist jeder stetige, lineare Operator   strikt singulär.[4] Insbesondere ist die natürliche Einbettung   der Folgenräume strikt singulär aber nicht kompakt.

Eigenschaften

Bearbeiten

Strikt singuläre Operatoren sind eng mit kompakten Operatoren verbunden, es gilt der folgende auf T. Kato zurückgehende Satz:[5]

  • Ein stetiger, linearer Operator   zwischen Banachräumen ist genau dann strikt singulär, wenn es zu jedem unendlichdimensionalen Unterbanachraum   einen unendlichdimensionalen Unterbanachraum   gibt, so dass   kompakt ist.

Ferner haben strikt singuläre Operatoren die erwarteten sogenannten Idealeigenschaften, das heißt:

  • Die Menge aller strikt singulären Operatoren zwischen zwei Banachräumen ist in der Operatornorm ein abgeschlossener Unterraum des Raums der stetigen, linearen Operatoren und ist   ein Produkt von Operatoren, von denen einer strikt singulär ist, so ist auch das Produkt strikt singulär.[6]

Man beachte allerdings, dass der adjungierte Operator zu einem strikt singulären Operator im Allgemeinen nicht strikt singulär ist, hier verhalten sich strikt singuläre Operatoren nicht wie kompakte Operatoren (siehe Satz von Schauder). Zur Konstruktion eines Gegenbeispiels beachte, dass jeder separable Banachraum Quotient von  . Es gibt also eine Quotientenabbildung  , die nach obigen Beispielen strikt singulär ist. Die adjungierte Abbildung   ist nicht strikt singulär.[7]

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Definition 2.1.8
  2. Y. A. Abramovich, C. D. Aliprantis: An Invitation to Operator Theory, Oxford University Press ( 2002), ISBN 0-821-82146-6, Definition 4.56
  3. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Theorem 5.5.1
  4. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Satz 2.1.9
  5. Y. A. Abramovich, C. D. Aliprantis: An Invitation to Operator Theory, Oxford University Press ( 2002), ISBN 0-821-82146-6, Satz 4.61
  6. Y. A. Abramovich, C. D. Aliprantis: An Invitation to Operator Theory, Oxford University Press (2002), ISBN 0-821-82146-6, Korollar 4.62
  7. Y. A. Abramovich, C. D. Aliprantis: An Invitation to Operator Theory, Oxford University Press ( 2002), ISBN 0-821-82146-6, Kapitel 4.5, Aufgabe 6