Stochastische Ordnung

Ordnungsrelationen für Zufallsvariable
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Stochastische Dominanz

Stochastische Ordnungen sind Ordnungsrelationen für Zufallsvariablen. Sie verallgemeinern das Konzept von größer und kleiner auf zufällige Größen und dienen zum Beispiel dem Vergleich von Risiken in der Versicherungswirtschaft. Die Theorie der stochastischen Ordnungen ist ein jüngeres mathematisches Teilgebiet und hat in den letzten Jahrzehnten eine starke Entwicklung erfahren und eine breite Anwendung in Finanzmathematik, ökonomischer Forschung und Operations Research gefunden. Spezielle stochastische Ordnungen wurden schon in der Nachkriegszeit erforscht, die erste umfassende Monographie des Themas von Dietrich Stoyan wurde 1977 veröffentlicht. Es werden zahlreiche stochastische Ordnungen mit jeweils unterschiedlichen Anwendungsbereichen betrachtet, die Theorie der Integralordnungen ermöglicht es dabei, unterschiedliche Ordnungen mit einheitlichen Methoden zu untersuchen.

Ordnung im Mittel

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Eine in der Praxis oft genutzte Ad-hoc-Ordnung entsteht aus dem Vergleich von Erwartungswerten. Man sagt die reelle Zufallsvariable   ist im Mittel kleiner als die Zufallsvariable  , wenn   gilt. Diese Ordnung berücksichtigt keine weiteren Eigenschaften der Verteilungen wie Varianz oder Schiefe.

Stochastische Dominanz erster Ordnung

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Eine besondere Rolle spielt die gewöhnliche stochastische Ordnung (bzw. stochastische Dominanz erster Ordnung). Ausgehend von der Notwendigkeit, Bewertungen und Entscheidungen auch unter Unsicherheit vornehmen zu können, überträgt sie den anschaulichen Ordnungsbegriff reeller Zahlen (formalisiert durch die Ordnungsaxiome reeller Zahlen) auf reellwertige Zufallsvariablen. Sie wurde vor anderen stochastischen Ordnungen untersucht und 1947 (Mann und Whitney) und 1956 (Lehmann) in mathematischen Arbeiten verwendet. Von Samuel Karlin wurde sie 1960 in das Operations Research eingeführt. In der ökonomischen Literatur ist sie als first order stochastic dominance (stochastische Dominanz erster Ordnung) bekannt.[1]

Die stochastische Dominanz spielt insbesondere bei Hypothesentests, wie dem Anderson-Darling-Test eine Rolle[2]. Es gibt verschiedene statistische Tests um stochastische Dominanz zu testen[3].

Definition

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  und  , X und Y sind durch die stochastische Dominanz erster Ordnung nicht vergleichbar.

Seien   und   reelle Zufallsvariablen.   ist größer-gleich   bezüglich der gewöhnlichen stochastischen Ordnung ( ), wenn für alle   gilt

 .

Das heißt, für eine beliebige Schranke   liegen die Werte von   mit größerer (oder gleicher) Wahrscheinlichkeit über   als die Werte von  . Als Symbol wird häufig   eingeführt. Das lässt sich ebenfalls als Kriterium für die Verteilungsfunktionen   und   formulieren:

  für alle  .

Eine äquivalente Definition lautet

  für alle monoton wachsenden Funktionen  .

Diese Definition lässt sich für Zufallsvariablen mit Werten in einem topologischen Raum  , auf dem eine Halbordnung   definiert ist, auf natürliche Weise verallgemeinern (wobei die Ordnung mit der Topologie verträglich sein muss und daher die Abgeschlossenheit der Menge   gefordert wird.)

Seien   zwei Zufallsvariablen mit Werten in einem halbgeordneten polnischen Raum. Der Satz von Strassen besagt nun, dass   genau dann gilt, wenn zwischen den Variablen eine monotone Kopplung besteht. Das bedeutet, dass zwei (andere) Zufallsvariablen   und   existieren, welche dieselbe Verteilung wie   resp.   besitzen und für die außerdem   gilt. Der Beweis dieser Existenzaussage ist außer in einfachen Fällen nicht konstruktiv.

Zufallsgrößen mit dem gleichen Erwartungswert und unterschiedlicher Verteilung kann man mit der gewöhnlichen stochastischen Ordnung nicht vergleichen, je nach Anwendung ist es erforderlich, andere stochastische Ordnungen zu betrachten.

Integralordnungen

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Viele stochastische Ordnungen von Interesse (für Zufallsvariablen mit Werten in einem geordneten polnischen Raum  ) lassen sich ebenso wie die gewöhnliche stochastische Ordnung über Klassen von „Testfunktionen“   (mit  )

  für alle   für die beide Erwartungswerte definiert sind

definieren. Solche stochastischen Ordnungen heißen Integralordnungen,   heißt die von   generierte stochastische Ordnung,   ihr Generator. Die so definierte Operation   ist nicht unbedingt transitiv, eine Möglichkeit, dieses Problem zu umgehen, ist die Einschränkung auf solche Funktionen und Zufallsvariablen, für die alle Erwartungswerte existieren.

Dies ist eine wahrscheinlichkeitstheoretische Begriffsbildung – das heißt, es kommt nur auf die Verteilungen von   und   an und Integralordnungen lassen sich ebenso für Verteilungen auf geordneten polnischen Räumen   ausgestattet mit der  -Algebra der Borelmengen definieren:

  für alle   für die beide Integrale definiert sind,

wobei   Wahrscheinlichkeitsmaße auf   seien.

Oft wird eine Ordnung schon von einer Unterklasse von   generiert (es reicht also aus, die rechte Seite von   für einen Teil der Funktionen aus   überprüfen, um   zu folgern), im Fall der gewöhnlichen stochastischen Ordnung zum Beispiel für alle isotonen messbaren Indikatorfunktionen oder für alle unendlich oft differenzierbaren isotonen Funktionen.

In der Anwendung der Ordnung ist oft von Interesse, aus der linken Seite von   die Gültigkeit der rechten Seite für eine bestimmte Funktion   zu folgern. Die Frage danach, für welche Funktionen dies möglich ist, führte A. W. Marshall 1991 zum Begriff des maximalen Generator.[4]

Bei der Bestimmung eines maximalen Generators wird wie bei der Sicherung der Transitivität eine Einschränkung auf bestimmte Funktionen benötigt. Es werden eine Gewichtsfunktion   eingeführt und nur  -beschränkte Funktionen   und Maße, bezüglich denen   integrierbar ist, betrachtet.

Stop-loss order

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Die für die Versicherungsmathematik wichtige stop-loss order   ist ein weiteres Beispiel für eine Integralordnung. Sie wird generiert von der Klasse der reellen Funktionen der Gestalt  ,  . Die stop-loss order ist schwächer als die gewöhnliche stochastische Ordnung und wird unter anderem beim Vergleich von Schadenssummen und als Kriterium bei der Wahl eines Prämienprinzips eingesetzt. Werden   und   als Risiken interpretiert, bedeutet  , dass die Stop-Loss-Rückversicherungsprämie für das Risiko   größer ist als die für   bei jeder Wahl des Selbstbehalts  .[5]

Abhängigkeitsordnungen

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Auf einem Maßraum   betrachte man zwei Zufallsvektoren   und   von  , so ist über den Vergleich der Kovarianzen

 

ein Vergleich des Grades der gegenseitigen Abhängigkeit der Komponenten der beiden Vektoren möglich. Abhängigkeitsordnungen (engl. dependence orders) verallgemeinern dieses Konzept und sind unter anderem von Interesse für die Versicherungswirtschaft, wo Häufung und Abhängigkeit von Risiken wie Hagel- oder Hochwasserschäden ein finanzielles Risiko für die Versicherer darstellen und die traditionell in der Versicherungsmathematik gemachte Annahme der Unabhängigkeit der Risiken zu einer Unterschätzung der Ruin-Wahrscheinlichkeit führt.

Zu den Abhängigkeitsordnungen gehört die supermodulare Ordnung  . Sie wird generiert von der Klasse der supermodularen Funktionen

 . Mit dieser Definition, ist jede zweimal stetig differenzierbare reellwertige Funktion die auf den reellen Zahlen definiert ist, bereits supermodular. Dies wiederum hat zur Folge, dass nur  -wertige Zufallsvektoren bezüglich   verglichen werden können, die gleiche Randverteilungen besitzen.

Sie ermöglicht zusammen mit der stop-loss order den Vergleich von multivariaten Risiko-Portfolios mit abhängigen Risiken.

Genauer gilt: Seien   und   zwei Risiko-Portfolios mit gleichen Randverteilungen. Ist der Vektor der Risiken von Portfolio   supermodular kleiner als der von Portfolio  , ist die Zufallsvariable der Schadenssumme von Portfolio   kleiner als die von Portfolio   bezüglich der stop-loss order, und damit auch der Preis einer Stop-Loss-Rückversicherung:[6]

 .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Alfred Müller, Dietrich Stoyan: Comparison methods for stochastic models and risks. Wiley, Chichester 2002, ISBN 0-471-49446-1, S. 2.
  2. Nonparametric Hypothesis Testing: Rank and Permutation Methods with Applications in R, Stefano Bonnini, Livio Corain, Marco Marozzi, Luigi Salmaso John Wiley & Sons, 1. Juli 2014, Seite 139 https://books.google.de/books?id=q0r1AwAAQBAJ&pg=PT139
  3. PySDTest: a Python Package for Stochastic Dominance Tests, Kyungho Lee∗ Yoon-Jae Whang, 2023, https://arxiv.org/abs/2307.10694
  4. Albert W. Marshall: Multivariate Stochastic Orderings and Generating Cones of Functions. In: K. Mosler, M. Scarsini (Hrsg.): Stochastic Orders and Decision under Risk (= IMS Lecture Notes – Monograph Series. Bd. 19). Institute of Mathematical Statistics, Hayward CA 1991, ISBN 0-940600-26-9, S. 231–247.
  5. Nicole Bäuerle, Alfred Müller: Modeling and Comparing Dependencies in Multivariate Risk Portfolios. In: ASTIN Bulletin International Actuarial Association. Vol. 28, Nr. 1, 1998, ISSN 0515-0361, S. 59–76, hier S. 62, (pdf; 812 KB).
  6. Nicole Bäuerle, Alfred Müller: Modeling and Comparing Dependencies in Multivariate Risk Portfolios. In: ASTIN Bulletin International Actuarial Association. Vol. 28, Nr. 1, 1998, ISSN 0515-0361, S. 59–76, hier S. 64, (pdf; 812 KB).